Exercício 5. Calcule os seguintes limites utilizando o Teorema do Limite da Função Composta ou mudança de variável:
\lim _{x \rightarrow 0} \cos \left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\cos\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr).
O tema é limites de funções compostas, usando o limite notável \lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=1 e a continuidade de \cos t.

Passo 2

Defina
g(x)=\frac{\sin x}{x}.
Pelo limite notável segue
\lim_{x\to0}g(x) =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =1.

Passo 3

Considere a função externa
f(t)=\cos t,
que é contínua para todo t. Pelo teorema do limite da função composta,
\lim_{x\to0}f\bigl(g(x)\bigr) =f\Bigl(\lim_{x\to0}g(x)\Bigr) =\cos(1).

Resposta

\cos(1)

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