Exercício 5. Calcule os seguintes limites utilizando o Teorema do Limite da Função Composta ou mudança de variável:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{2}+3\right)^{2}-16}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 1} \frac{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{2}-16}{x-1}
usando o Teorema do Limite da Função Composta ou mudança de variável. O conteúdo envolvido é limite de função racional que dá forma 0/0, e vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x^{2} + 3,
de modo que, quando x \to 1, temos
u \to 1^{2} + 3 = 4.
A expressão original fica
\frac{(x^{2}+3)^{2}-16}{x-1} =\frac{u^{2}-16}{x-1}.

Passo 3

Observe que
u^{2}-16 = (u-4)(u+4),
e também
u-4 = (x^{2}+3)-4 = x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Logo,
u^{2}-16 = (x-1)(x+1)\,(u+4).

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando x-1, obtemos
\frac{u^{2}-16}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)(u+4)}{x-1} =(x+1)(u+4).
Agora basta aplicar o limite x\to1, u\to4:

Passo 5

\lim_{x \to 1}(x+1)(u+4) =(1+1)\,(4+4) =2 \cdot 8 =16.

Resposta

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