Exercício 3. Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}+1 & \text { se } & x<0 \\\\ 2 x+1 & \text { se } & x \geq 0\end{array}\right.. Calcule os limites laterais \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x). O limite \lim _{x \rightarrow 0} f(x) existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & x<0,\\\\ 2x+1, & x\ge0, \end{cases}
e pede os limites laterais em x=0 e se o limite em 0 existe. Isso é conteúdo de cálculo de limites laterais para funções definidas por pedaços, usando que o limite de polinômios e de funções lineares se obtém por simples substituição.

Passo 2

Para o limite pela direita, como x\to0^+ estamos na parte 2x+1. Logo,
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(2x+1) =2\cdot0+1 =1.

Passo 3

Para o limite pela esquerda, como x\to0^- usamos x^2+1. Assim,
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(x^2+1) =0^2+1 =1.

Passo 4

Observamos que os dois limites laterais são iguais a 1. Pela definição de limite, se \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x), então \lim_{x\to0}f(x) existe e vale esse valor comum.

Resposta

\lim_{x\to0^-}f(x)=1 \lim_{x\to0^+}f(x)=1
O limite \lim_{x\to0}f(x) existe e é igual a 1.

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