Exercício 6. Determine o maior subconjunto de \mathbb{R} em que a função h(x)=\ln (\cos x) é contínua.

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de \mathbb{R} em que a função
h(x)=\ln\bigl(\cos x\bigr)
é contínua. Sabemos que \ln(t) é contínua em (0,\infty) e que \cos x é contínua em \mathbb{R}. A composição de funções contínuas é contínua no domínio onde ela está bem definida, ou seja, precisamos ter
\cos x>0.

Passo 2

Vamos resolver a desigualdade
\cos x>0.
No ciclo de período 2\pi, \cos x é estritamente positiva para
x\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr)+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Portanto, o maior domínio em que \cos x>0 — e em consequência \ln(\cos x) está definida e é contínua — é a união desses intervalos:
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Bigr).

Resposta

\displaystyle \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Bigr).

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