Exercício 7.4. Encontre a solução de cada PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime}+3 y=18 t \\ y(0)=5 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' + 3y = 18t,\quad y(0)=5.
O conteúdo é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=e^{\int 3\,dt}=e^{3t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{3t}y' + 3e^{3t}y = 18t\,e^{3t},
que é equivalente a
\frac{d}{dt}\bigl(e^{3t}y\bigr)=18t\,e^{3t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
e^{3t}y = \int 18t\,e^{3t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t e dv=18e^{3t}dt (logo du=dt e v=6e^{3t}), vem
\int 18t\,e^{3t}dt = 6t\,e^{3t} - \int 6e^{3t}dt = 6t\,e^{3t} - 2e^{3t} + C.
Então
e^{3t}y = (6t-2)e^{3t} + C \quad\Longrightarrow\quad y = 6t - 2 + C e^{-3t}.

Passo 4

Impondo y(0)=5, temos
5 = 6\cdot0 -2 + C\cdot e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 7.
Logo a solução do PVI é
y(t) = 6t - 2 + 7e^{-3t}.

Resposta

y(t) = 6t - 2 + 7e^{-3t}.

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