Exercício 2. Calcule
e
, com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0 , com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
e
usando a série de Taylor de
em torno de
até (i) primeira ordem e (ii) terceira ordem, e depois (iii) comparar com os valores exatos. Para isso vamos usar que
e então truncar depois do termo de ordem
(primeira ordem) e depois do termo de ordem
(terceira ordem).
Passo 2
Da série de Taylor em torno de zero temos:
Essas são as fórmulas que vamos usar para
e
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas para
:
primeira ordem:
primeira ordem:
terceira ordem:
Passo 4
Aplicando as fórmulas para
:
primeira ordem:
primeira ordem:
terceira ordem:
Passo 5
Agora comparemos com os valores exatos (calculadora):
Calculamos também o erro absoluto em cada caso:
para :
primeira ordem: ,
terceira ordem: .
para :
primeira ordem: ,
terceira ordem: .
para
primeira ordem:
terceira ordem:
para
primeira ordem:
terceira ordem:
Resposta
(i) Para
:
Para
:
(ii) Valores exatos:
(iii) Erros absolutos: