Exercício 2. Calcule (sin 0,15) e (sin 0,3), com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0 , com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar sin(0,15) e sin(0,3) usando a série de Taylor de sin(x) em torno de 0 até (i) primeira ordem e (ii) terceira ordem, e depois (iii) comparar com os valores exatos. Para isso vamos usar que
sin(x)=x-x^33!+x^55!-cdots
e então truncar depois do termo de ordem x (primeira ordem) e depois do termo de ordem x^3 (terceira ordem).

Passo 2

Da série de Taylor em torno de zero temos:
sin(x)approx x (primeira ordem)
sin(x)approx x-x^36 (terceira ordem, porque (3!=6))
Essas são as fórmulas que vamos usar para x=0,15 e x=0,3.

Passo 3

Aplicando as fórmulas para x=0,15:
primeira ordem:
sin(0,15)approx 0,15
terceira ordem:
sin(0,15)approx 0,15-(0,15)^36 =0,15-0,0033756 =0,15-0,0005625 =0,1494375

Passo 4

Aplicando as fórmulas para x=0,3:
primeira ordem:
sin(0,3)approx 0,3
terceira ordem:
sin(0,3)approx 0,3-(0,3)^36 =0,3-0,0276 =0,3-0,0045 =0,2955

Passo 5

Agora comparemos com os valores exatos (calculadora):
sin(0,15)approx0,1494381, sin(0,3)approx0,2955202
Calculamos também o erro absoluto em cada caso:
para x=0,15:
primeira ordem: |0,15-0,1494381|approx0,0005619,
terceira ordem: |0,1494375-0,1494381|approx6times10^-7.
para x=0,3:
primeira ordem: |0,3-0,2955202|approx0,0044798,
terceira ordem: |0,2955-0,2955202|approx2,02times10^-5.

Resposta

(i) Para x=0,15:
primeira ordem: 0,15, terceira ordem: 0,1494375
Para x=0,3:
primeira ordem: 0,3, terceira ordem: 0,2955
(ii) Valores exatos:
sin(0,15)approx0,1494381, sin(0,3)approx0,2955202
(iii) Erros absolutos:
x=0,15:& ordem 1: 5,619times10^-4, ordem 3: 6times10^-7, x=0,3:& ordem 1: 4,4798times10^-3, ordem 3: 2,02times10^-5

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