Seja F(t)=integral0^t^2 d s(cos s i+e^-(s^2) j+tan s k). Encontre dd t F(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
vec F(t)=integral0^t^2l(cos s,vec i + e^-s^2,vec j + tan s,vec kr),ds
e pede ddtvec F(t). O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limite superior dependente de t, junto com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Em geral, se
G(t)=integral0^u(t)f(s),ds,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia, vale
ddtG(t)=fl(u(t)r),u'(t)

Passo 3

Aqui identificamos
f(s)=cos s,vec i + e^-s^2,vec j + tan s,vec k, u(t)=t^2

Passo 4

Calculamos a derivada de u(t):
u'(t)=ddt(t^2)=2t

Passo 5

Substituindo s=u(t)=t^2 em f(s) e multiplicando por u'(t), obtemos
ddtvec F(t) =fl(t^2r),2t =2tl(cos(t^2),vec i + e^-(t^2)^2,vec j + tan(t^2),vec kr)

Resposta

ddtvec F(t) =2tl(cos(t^2),vec i + e^-t^4,vec j + tan(t^2),vec kr)

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