Exercício 5. Calcule todas as raízes n-ésimas abaixo:
(a) \sqrt{-7+24 i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as raízes quadradas n=2 do número complexo
z = -7 + 24\,i.
O conteúdo necessário é a representação de números complexos em forma polar e a aplicação do Teorema de De Moivre para raízes n-ésimas.

Passo 2

Converter z para a forma polar z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
Calcular o módulo:
r = |z| = \sqrt{(-7)^{2} + 24^{2}} = \sqrt{49 + 576} = 25.
Como \Re(z)=-7<0 e \Im(z)=24>0, o argumento \theta está no segundo quadrante e satisfaz
\cos\theta = -\frac{7}{25}, \quad \sin\theta = \frac{24}{25}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, as raízes quadradas são
w_{k} \;=\;\sqrt[2]{r}\,\Bigl[\cos\!\Bigl(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\Bigr) + i\sin\!\Bigl(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\Bigr)\Bigr], \quad k=0,1.
Aqui \sqrt[2]{r}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Chamando \phi_{k}=(\theta+2k\pi)/2, para k=0 temos \phi_{0}=\theta/2 no primeiro quadrante. Usamos fórmulas de semissoma:
1 + \cos\theta = 1 - \tfrac{7}{25} = \tfrac{18}{25}, \quad 1 - \cos\theta = 1 + \tfrac{7}{25} = \tfrac{32}{25},
\cos\phi_{0} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{\tfrac{18}{25}}{2}} = \frac{3}{5}, \quad \sin\phi_{0} = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{\tfrac{32}{25}}{2}} = \frac{4}{5}.
Logo
w_{0} = 5\Bigl(\tfrac{3}{5} + i\,\tfrac{4}{5}\Bigr) = 3 + 4i.
Para k=1, \phi_{1} = \phi_{0} + \pi, então
w_{1} = 5\bigl(-\tfrac{3}{5} - i\,\tfrac{4}{5}\bigr) = -3 - 4i.

Resposta

As duas raízes quadradas de -7 + 24\,i são
3 + 4i \quad\text{e}\quad -3 - 4i.

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