Exercício 5. Calcule todas as raízes n-ésimas abaixo:
(e) \sqrt[3]{-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as raízes cúbicas de -1, ou seja, encontrar todas as soluções z\in\mathbb{C} de
z^3 = -1.
O conteúdo envolvido é o uso da forma polar de números complexos e do Teorema de De Moivre para extrair raízes.

Passo 2

Primeiro escrevemos -1 na forma polar. O módulo é
r = |{-1}| = 1
e um argumento principal de -1 é \theta = \pi sendo que, em geral, -1 = e^{i(\pi + 2m\pi)} para m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Pela fórmula das n-ésimas raízes, as soluções de z^3 = re^{i\theta} são
z_k = r^{1/3} \exp\!\bigl(i\,\tfrac{\theta + 2k\pi}{3}\bigr),
com k=0,1,2. Aqui r=1, \theta=\pi, logo r^{1/3}=1 e
z_k = \exp\!\bigl(i\,\tfrac{\pi + 2k\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Calculando para cada k:
\begin{aligned} k=0:&\quad z_0 = \exp\!\bigl(i\,\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ k=1:&\quad z_1 = \exp\!\bigl(i\,\tfrac{3\pi}{3}\bigr) = \exp(i\pi) = -1,\\\ k=2:&\quad z_2 = \exp\!\bigl(i\,\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}

Resposta

\sqrt[3]{-1} = \Bigl\{\,\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;-1,\;\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr\}.

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