Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - É solicitado o antiderivado indefinido (ou seja, uma primitiva) da soma, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Primeiro fato importante (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais. Logo podemos escrever
Vou calcular cada uma dessas três integrais separadamente. Esta é uma técnica prática na prova: separar termos fáceis e tratar cada um com a técnica adequada.
Passo 3
Integral do primeiro termo. A primitiva de
em relação a
é simples:
Explicação curta: derivada de
é
, então
é uma primitiva.
Passo 4
Integral do segundo termo
. Aqui é conveniente usar a substituição linear
.
- Definição da substituição: seja
. Então , isto é . - Substituindo na integral:
- Agora
. Portanto
Observação: como no integrando original o termo é
, sua contribuição será
.
Passo 5
Integral do terceiro termo
. Novamente usamos substituição linear, agora
.
- Definição da substituição: seja
. Então , isto é . - Substituindo:
- Sabendo que
, obtemos
Passo 6
Juntando as três partes calculadas e adicionando a constante de integração
, a primitiva geral é
Para ter mais confiança, pode-se verificar diferenciando:
,
, e
. Somando dá exatamente o integrando original.