Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int\left(1-\cos (4 x)+\operatorname{sen}\left(\frac{x}{7}\right)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(1-\cos(4x)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de três termos: 1, -\cos(4x) e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{7}\right).
  • É solicitado o antiderivado indefinido (ou seja, uma primitiva) da soma, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Primeiro fato importante (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais. Logo podemos escrever
\int\left(1-\cos(4x)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\right)\,dx = \int 1\,dx \;-\; \int \cos(4x)\,dx \;+\; \int \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\,dx.
Vou calcular cada uma dessas três integrais separadamente. Esta é uma técnica prática na prova: separar termos fáceis e tratar cada um com a técnica adequada.

Passo 3

Integral do primeiro termo. A primitiva de 1 em relação a x é simples:
\int 1\,dx = x.
Explicação curta: derivada de x é 1, então x é uma primitiva.

Passo 4

Integral do segundo termo \displaystyle \int \cos(4x)\,dx. Aqui é conveniente usar a substituição linear u=4x.
  • Definição da substituição: seja u = 4x. Então du = 4\,dx, isto é dx=\dfrac{du}{4}.
  • Substituindo na integral:
\int \cos(4x)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
  • Agora \int \cos(u)\,du = \sin(u). Portanto
\int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\sin(u) = \frac{1}{4}\sin(4x).
Observação: como no integrando original o termo é -\cos(4x), sua contribuição será -\dfrac{1}{4}\sin(4x).

Passo 5

Integral do terceiro termo \displaystyle \int \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\,dx. Novamente usamos substituição linear, agora v=\dfrac{x}{7}.
  • Definição da substituição: seja v=\dfrac{x}{7}. Então dv=\dfrac{1}{7}\,dx, isto é dx=7\,dv.
  • Substituindo:
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\,dx = \int \sin(v)\cdot 7\,dv = 7\int \sin(v)\,dv.
  • Sabendo que \int \sin(v)\,dv = -\cos(v), obtemos
7\int \sin(v)\,dv = 7\bigl(-\cos(v)\bigr) = -7\cos(v) = -7\cos\!\left(\frac{x}{7}\right).

Passo 6

Juntando as três partes calculadas e adicionando a constante de integração C, a primitiva geral é
x - \frac{1}{4}\sin(4x) - 7\cos\!\left(\frac{x}{7}\right) + C.
Para ter mais confiança, pode-se verificar diferenciando: \dfrac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1, \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{4}\sin(4x)\bigr)=-\tfrac{1}{4}\cos(4x)\cdot 4=-\cos(4x), e \dfrac{d}{dx}\bigl(-7\cos(\tfrac{x}{7})\bigr)=-7(-\sin(\tfrac{x}{7}))\cdot \tfrac{1}{7}=\sin(\tfrac{x}{7}). Somando dá exatamente o integrando original.

Resposta

x-\dfrac{1}{4}\sin(4x)-7\cos\!\left(\dfrac{x}{7}\right)+C

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