Exercício 1 - Cálculo
Calcule as integrais triplas em cada item:
Integral tripla sobre D de z dx dy dz
Onde \mathrm{D}=\left\{(x, y, z) \mathrm{em} \mathrm{R}^{3} ; x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2+z^{\wedge} 2<=4, z>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} z \,dx\,dy\,dz
onde
D = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 4,\; z>0\}.
Esse é o hemisfério de raio 2 acima do plano z=0. Como a região é simétrica em torno do eixo z, é natural usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Na região D temos
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 2,\quad 0 \le z \le \sqrt{4 - r^2}.
A integral fica então
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} z\,r \;dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em z:
\int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} z\,r \;dz = r \,\biggl[\frac{z^2}{2}\biggr]_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} = r\,\frac{4 - r^2}{2} = \frac{4r - r^3}{2}.

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{0}^{2} \frac{4r - r^3}{2}\;dr = \frac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{2}4r\,dr - \int_{0}^{2}r^3\,dr\Bigr] = \frac{1}{2}\bigl[8 - 4\bigr] = 2.
Restou a parte em \theta.

Passo 5

Finalmente, a integral em \theta é
\int_{0}^{2\pi}2\;d\theta = 4\pi.

Resposta

4\pi.

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