Exercício 8 Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido S limitado pelo paralóide z=1-\left(x^{2}+y^{2}\right) e o plano z=0.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume do sólido S limitado pelo parabolóide z=1-\left(x^{2}+y^{2}\right) e pelo plano z=0, usando coordenadas cilíndricas.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A superfície superior é z=1-(x^2+y^2).
  • A superfície inferior é o plano z=0.
  • O sólido S é a região onde 0\le z\le 1-(x^2+y^2) e 1-(x^2+y^2)\ge0 (pois z não pode ser negativo).
  • A projeção do sólido no plano xy (domínio D) é o conjunto de pontos (x,y) tais que x^2+y^2\le 1 (um disco de raio 1 centrado na origem). Vou usar essa projeção para montar a integral de volume.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas / polares:
  • Em coordenadas cilíndricas (no plano xy isto é o mesmo que coordenadas polares) representamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\ge0 e \theta variando normalmente de 0 a 2\pi.
  • O elemento de área no plano xy em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação didática do r: quando se troca de coordenadas cartesianas para polares, pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta; por isso aparece o fator r (o chamado jacobiano).

Passo 3

Determinar a região de integração no plano xy (projeção D):
  • A interseção entre z=1-(x^2+y^2) e z=0 1-(x^2+y^2)=0, ou seja
x^2+y^2=1.
  • Em coordenadas polares isso é r^2=1, logo r=1.
  • Assim a projeção D é o disco \{(r,\theta)\mid 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi\}.

Passo 4

Montar a integral de volume:
  • A fórmula prática para volume quando se tem uma superfície superior z_{\text{top}}(x,y) e superfície inferior z_{\text{bot}}(x,y) é
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
  • Aqui z_{\text{top}}=1-r^2 (peguei r^2=x^2+y^2) e z_{\text{bot}}=0. Com dA=r\,dr\,d\theta obtemos a integral em polares
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(1-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (em r):
  • Primeiro desenvolver o integrando:
(1-r^{2})\,r = r - r^{3}.
  • Calcular
\int_{0}^{1}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Calcular a integral em \theta e escrever o resultado final (antes de colocar a resposta no campo final):
V=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}d\theta = \frac{1}{4}\cdot 2\pi.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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