Exercício 8 Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido
limitado pelo paralóide
e o plano
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume do sólido
limitado pelo parabolóide e pelo plano , usando coordenadas cilíndricas.
Informações dadas e observações imediatas:
- A superfície superior é
. - A superfície inferior é o plano
. - O sólido
é a região onde e (pois não pode ser negativo). - A projeção do sólido no plano
(domínio ) é o conjunto de pontos tais que (um disco de raio centrado na origem). Vou usar essa projeção para montar a integral de volume.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas / polares:
- Em coordenadas cilíndricas (no plano
isto é o mesmo que coordenadas polares) representamos
com
e
variando normalmente de
a
.
- O elemento de área no plano
em coordenadas polares é
Explicação didática do
: quando se troca de coordenadas cartesianas para polares, pequenos retângulos em
têm área aproximada
; por isso aparece o fator
(o chamado jacobiano).
Passo 3
Determinar a região de integração no plano
(projeção
):
- A interseção entre
e dá , ou seja
- Em coordenadas polares isso é
, logo . - Assim a projeção
é o disco .
Passo 4
Montar a integral de volume:
- A fórmula prática para volume quando se tem uma superfície superior
e superfície inferior é
- Aqui
(peguei ) e . Com obtemos a integral em polares
Passo 5
Calcular a integral interna (em
):
- Primeiro desenvolver o integrando:
- Calcular
Passo 6
Calcular a integral em
e escrever o resultado final (antes de colocar a resposta no campo final):