Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações que o enunciado dá e o que se busca:
- A variável tende para
(ou seja, cresce sem limite, mantendo-se positiva). - O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando
?
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): quando
vai para infinito, termos como
,
,
ficam muito pequenos — tendem a
. Para comparar polinômios no infinito, é prático dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui é
), assim aparecem termos do tipo
que vão para zero. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Primeiro escrevo cada polinômio factorizando
:
Passo 4
Como
para
grande, posso cancelar
entre numerador e denominador e obter:
Passo 5
Agora tomo o limite termo a termo. Sabendo que, quando
,
temos
(Intuição rápida: as parcelas de menor potência viram “pequenos” e desaparecem no limite, sobrando apenas os coeficientes dos termos de maior grau.)
Passo 6
Regra prática (para a prova): para uma razão de polinômios
,
- se
, o limite quando é ; - se
, o limite é (dependendo do sinal de e do sentido / ); - se
, o limite é .
No nosso caso
e
,
, então o limite é
, conforme calculado.