\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}-x+3}{2 x^{3}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}-x+3}{2x^{3}-2}.
Informações que o enunciado dá e o que se busca:
  • A variável tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite, mantendo-se positiva).
  • O numerador é o polinômio x^{3}-x+3.
  • O denominador é o polinômio 2x^{3}-2.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando x\to+\infty?

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): quando x vai para infinito, termos como \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}} ficam muito pequenos — tendem a 0. Para comparar polinômios no infinito, é prático dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui é x^{3}), assim aparecem termos do tipo \dfrac{1}{x^{k}} que vão para zero. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3}. Primeiro escrevo cada polinômio factorizando x^{3}:
x^{3}-x+3 = x^{3}\!\left(1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}\right), \qquad 2x^{3}-2 = x^{3}\!\left(2 - \frac{2}{x^{3}}\right).

Passo 4

Como x^{3}\neq 0 para x grande, posso cancelar x^{3} entre numerador e denominador e obter:
\frac{x^{3}-x+3}{2x^{3}-2} = \frac{1 - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{3}{x^{3}}}{2 - \dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 5

Agora tomo o limite termo a termo. Sabendo que, quando x\to+\infty,
\frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{3}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{2}{x^{3}}\to 0,
temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1 - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{3}{x^{3}}}{2 - \dfrac{2}{x^{3}}} = \frac{1-0+0}{2-0} = \frac{1}{2}.
(Intuição rápida: as parcelas de menor potência viram “pequenos” e desaparecem no limite, sobrando apenas os coeficientes dos termos de maior grau.)

Passo 6

Regra prática (para a prova): para uma razão de polinômios \dfrac{a_{n}x^{n}+\dots}{b_{m}x^{m}+\dots},
  • se n=m, o limite quando x\to\pm\infty é \dfrac{a_{n}}{b_{m}};
  • se n>m, o limite é \pm\infty (dependendo do sinal de a_n e do sentido +\infty/ -\infty);
  • se n<m, o limite é 0.
No nosso caso n=m=3 e a_{3}=1, b_{3}=2, então o limite é \dfrac{1}{2}, conforme calculado.

Resposta

\frac{1}{2}

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