Exercício 2. Cálculo cada expressão, unsando as funções f, g e h definidas por: f(x, y)=5 x^{2}+7 x y, g(x, y)=\sqrt{x y} e h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}.
g(k, k)

Passo 1

O enunciado pede para calcular g(k,k), usando a função fornecida:
g(x,y)=\sqrt{x y}.
Informações relevantes que temos:
  • A função g toma a raiz quadrada do produto x y.
  • Para a raiz quadrada real, o argumento deve ser não negativo: x y \ge 0.
  • No pedido g(k,k) substituímos x=k e y=k.

Passo 2

Calcular o produto que entra na raiz quando x=k e y=k:
k\cdot k = k^{2}.

Passo 3

Agora avalio a raiz quadrada do resultado:
g(k,k)=\sqrt{k^{2}}.
Aqui é importante lembrar o significado da raiz quadrada principal: para números reais, \sqrt{a} é sempre o número não negativo cuja quadrado é a. Portanto, para todo k\in\mathbb{R} vale
\sqrt{k^{2}} = |k|.
Explicando com casos (bem prático para aplicar na prova):
  • Se k\ge 0, então \sqrt{k^{2}}=\sqrt{(k)^{2}}=k.
  • Se k<0, então \sqrt{k^{2}}=\sqrt{(-k)^{2}}=-k, e -k>0, ou seja -k=|k|.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se k=3, \sqrt{k^{2}}=\sqrt{9}=3=|3|.
  • Se k=-2, \sqrt{k^{2}}=\sqrt{4}=2=|-2|.

Passo 4

Concluímos que a expressão está bem definida para todo k\in\mathbb{R} e que a simplificação correta, que vale em provas e exercícios, é:
g(k,k)=|k|.

Resposta

|k|

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