Exercício 2. Cálculo cada expressão, unsando as funções f, g e h definidas por: f(x, y)=5 x^{2}+7 x y, g(x, y)=\sqrt{x y} e h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}.
h(\sin t, \cos t, 0)

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x,y)=5x^{2}+7xy,\qquad g(x,y)=\sqrt{xy},\qquad h(x,y,z)=\frac{2xy+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
e pede para calcular a expressão
h(\sin t,\cos t,0).
Ou seja, a tarefa é substituir x=\sin t, y=\cos t e z=0 na definição de h e simplificar o resultado para obter uma expressão em termos de t.

Passo 2

Faço a substituição direta na fórmula de h. Substituindo x=\sin t, y=\cos t e z=0 obtemos:
h(\sin t,\cos t,0)=\frac{2\sin t\cos t+0}{\sin^{2}t+\cos^{2}t-0}.

Passo 3

Simplifico o numerador e o denominador removendo os zeros:
h(\sin t,\cos t,0)=\frac{2\sin t\cos t}{\sin^{2}t+\cos^{2}t}.
Aqui é bom lembrar uma identidade trigonométrica básica (Pitagórica): para todo t vale
\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Essa identidade vem da definição das funções seno e cosseno no círculo trigonométrico: as coordenadas de um ponto na circunferência unitária satisfazem x^{2}+y^{2}=1, com x=\cos t e y=\sin t.

Passo 4

Usando a identidade \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 no denominador, o quociente fica
h(\sin t,\cos t,0)=\frac{2\sin t\cos t}{1}=2\sin t\cos t.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do ângulo duplo para seno. A fórmula de adição diz que
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=b=t obtemos
\sin 2t=\sin(t+t)=\sin t\cos t+\cos t\sin t=2\sin t\cos t.
Portanto 2\sin t\cos t=\sin 2t.

Passo 6

Concluo que a expressão simplifica para
h(\sin t,\cos t,0)=\sin 2t.
Verificação numérica simples (cheia de confiança): se t=\tfrac{\pi}{6}, então \sin t=\tfrac{1}{2} e \cos t=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo em h antes de simplificar:
\frac{2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
e \sin 2t=\sin\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, conferindo o resultado. Observação sobre domínio: o denominador ficou igual a 1, então não há problema de divisão por zero para nenhum t.

Resposta

\sin 2t

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