Exercício 2. Cálculo cada expressão, unsando as funções
e
definidas por:
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e pede para calcular a expressão
Ou seja, a tarefa é substituir
,
e
na definição de
e simplificar o resultado para obter uma expressão em termos de
.
Passo 2
Faço a substituição direta na fórmula de
. Substituindo
,
e
obtemos:
Passo 3
Simplifico o numerador e o denominador removendo os zeros:
Aqui é bom lembrar uma identidade trigonométrica básica (Pitagórica): para todo
vale
Essa identidade vem da definição das funções seno e cosseno no círculo trigonométrico: as coordenadas de um ponto na circunferência unitária satisfazem
, com
e
.
Passo 4
Usando a identidade
no denominador, o quociente fica
Passo 5
Agora aplico a fórmula do ângulo duplo para seno. A fórmula de adição diz que
Tomando
obtemos
Portanto
.
Passo 6
Concluo que a expressão simplifica para
Verificação numérica simples (cheia de confiança): se
, então
e
. Substituindo em
antes de simplificar:
e
, conferindo o resultado. Observação sobre domínio: o denominador ficou igual a
, então não há problema de divisão por zero para nenhum
.