Exercício 2. Cálculo cada expressão, unsando as funções f, g e h definidas por: f(x, y)=5 x^{2}+7 x y, g(x, y)=\sqrt{x y} e h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}.
\frac{f(x, y)}{[g(x, y)]^{2}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado. O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}.
As funções fornecidas são:
f(x,y)=5x^{2}+7xy,
g(x,y)=\sqrt{xy},
h(x,y,z)=\frac{2xy+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}.
(Observação: a função h foi fornecida mas não é necessária para este cálculo.)

Passo 2

Entender o domínio e o significado de g. A função g(x,y)=\sqrt{xy} envolve raiz quadrada. A raiz quadrada real está definida apenas quando o radicando é não negativo, isto é:
xy \ge 0.
Além disso, na expressão original estamos dividindo por [g(x,y)]^{2}. Não podemos dividir por zero, portanto devemos excluir os pontos onde [g(x,y)]^{2}=0, ou seja onde xy=0. Combinando as duas condições, a expressão só faz sentido quando
xy>0.
Em palavras: x e y devem ter o mesmo sinal e nenhum deles pode ser zero.

Passo 3

Simplificar [g(x,y)]^{2}. Para xy\ge 0 vale:
[g(x,y)]^{2}=(\sqrt{xy})^{2}=xy.
Explicando rápido: a raiz quadrada principal \sqrt{xy} é um número não negativo tal que, ao ser elevado ao quadrado, retorna xy. Por isso o quadrado da raiz dá exatamente xy quando xy\ge 0.

Passo 4

Substituir a simplificação na expressão pedida:
\frac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}=\frac{5x^{2}+7xy}{xy}.
Mostrando o numerador fatorado para facilitar cancelamentos:
5x^{2}+7xy = x(5x+7y),
portanto
\frac{5x^{2}+7xy}{xy}=\frac{x(5x+7y)}{xy}.

Passo 5

Cancelar fatores comuns e dividir termo a termo. Como xy>0 sabemos que x\neq 0 e y\neq 0, podemos cancelar x:
\frac{x(5x+7y)}{xy}=\frac{5x+7y}{y}.
Agora dividir cada termo por y:
\frac{5x+7y}{y}=\frac{5x}{y}+7.

Passo 6

Conclusão com domínio: a expressão simplificada é
\frac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}=\frac{5x}{y}+7,
válida para
xy>0.
Se xy\le 0 a expressão original não está definida (ou porque g não existe quando xy<0, ou porque há divisão por zero quando xy=0).

Passo 7

Verificação numérica (exemplo prático). Escolhendo x=2 e y=3 (aqui xy=6>0):
f(2,3)=5\cdot 2^{2}+7\cdot 2\cdot 3=5\cdot4+42=20+42=62,
g(2,3)=\sqrt{6},\qquad [g(2,3)]^{2}=6,
\frac{f(2,3)}{[g(2,3)]^{2}}=\frac{62}{6}=\frac{31}{3}\approx 10{,}333\ldots
Usando a forma simplificada:
\frac{5x}{y}+7=\frac{5\cdot 2}{3}+7=\frac{10}{3}+7=\frac{31}{3}\approx 10{,}333\ldots
confere com a conta direta.

Resposta

\displaystyle \frac{f(x,y)}{[g(x,y)]^{2}}=\frac{5x}{y}+7,\quad \text{para }xy>0

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