Seja C o círculo de centro z_{0} e raio R, parametrizado por
z=z_{0}+R e^{i \theta}, \quad-\pi \leq \theta \leq \pi
Calcule
\int_{C}\left(z-z_{0}\right)^{k} d z
onde k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá um círculo C centrado em z_{0} e de raio R, parametrizado por
z=z_{0}+R e^{i\theta},\qquad -\pi\le\theta\le\pi,
e pede o valor da integral
\int_{C}\left(z-z_{0}\right)^{k}dz
para um inteiro k\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização do caminho C (peguei isso do enunciado).
  • A variável de integração é z ao longo do círculo C.
  • O expoente k é um inteiro, podendo ser negativo, zero ou positivo.

Passo 2

Vamos parametrizar a integral usando \theta. Primeiro escrevemos dz em função de d\theta. A partir de
z=z_{0}+R e^{i\theta}
temos derivando em relação a \theta:
dz = \frac{d}{d\theta}\bigl(R e^{i\theta}\bigr)\,d\theta = iR e^{i\theta}\,d\theta.
Também note que
(z-z_{0})^{k} = \bigl(R e^{i\theta}\bigr)^{k} = R^{k} e^{ik\theta}.
Essas duas expressões substituem o integrando e dz na integral original.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
\int_{C}(z-z_{0})^{k}dz = \int_{-\pi}^{\pi} \bigl(R^{k} e^{ik\theta}\bigr)\bigl(iR e^{i\theta}\bigr)\,d\theta.
Agrupando os fatores constantes em R e o expoente exponencial,
\int_{C}(z-z_{0})^{k}dz = iR^{k+1}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k+1)\theta}\,d\theta.
É conveniente definir m=k+1 (um inteiro). Assim a integral é
iR^{k+1}\int_{-\pi}^{\pi} e^{im\theta}\,d\theta.

Passo 4

Agora avaliamos a integral de e^{im\theta} sobre [-\pi,\pi]. Há dois casos distintos dependendo de m.
Caso 1: m\neq 0 (isto é, k\neq -1).
A primitiva de e^{im\theta} é \dfrac{e^{im\theta}}{im}. Portanto
\int_{-\pi}^{\pi} e^{im\theta}\,d\theta = \left.\frac{e^{im\theta}}{im}\right|_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{im\pi}-e^{-im\pi}}{im}.
Como m é inteiro, e^{im\pi}=(-1)^{m} e e^{-im\pi}=(-1)^{-m}=(-1)^{m}; assim o numerador é zero e a integral vale zero. Logo, para k\neq -1 temos
\int_{C}(z-z_{0})^{k}dz = iR^{k+1}\cdot 0 = 0.
(Interpretação intuitiva: funções e^{im\theta} com m\neq 0 têm média zero num período completo.)

Passo 5

Caso 2: m=0 (isto é, k=-1).
Então e^{im\theta}=e^{0}=1 e
\int_{-\pi}^{\pi} e^{0}\,d\theta = \int_{-\pi}^{\pi}1\,d\theta = 2\pi.
Substituindo na expressão multiplicativa,
\int_{C}(z-z_{0})^{-1}dz = iR^{0}\cdot 2\pi = 2\pi i.
Observação: este caso é o único em que a integral não anula; é o resultado clássico ligado ao fato de que \dfrac{1}{z-z_{0}} tem um pólo simples em z_{0} e a integral ao redor do pólo dá 2\pi i.

Passo 6

Resumo dos dois casos (já obtidos pelos cálculos anteriores):
  • Se k\neq -1 então a integral é zero.
  • Se k=-1 então a integral é 2\pi i.

Resposta

\int_{C}(z-z_{0})^{k}dz= \begin{cases} 0, & k\neq -1,\\[4pt] 2\pi i, & k=-1. \end{cases}]

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