Seja
o círculo de centro
e raio
, parametrizado por
Calcule
onde
.
Passo 1
O enunciado dá um círculo
centrado em
e de raio
, parametrizado por
e pede o valor da integral
para um inteiro
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização do caminho
(peguei isso do enunciado). - A variável de integração é
ao longo do círculo . - O expoente
é um inteiro, podendo ser negativo, zero ou positivo.
Passo 2
Vamos parametrizar a integral usando
. Primeiro escrevemos
em função de
. A partir de
temos derivando em relação a
:
Também note que
Essas duas expressões substituem o integrando e
na integral original.
Passo 3
Substituindo na integral obtemos
Agrupando os fatores constantes em
e o expoente exponencial,
É conveniente definir
(um inteiro). Assim a integral é
Passo 4
Agora avaliamos a integral de
sobre
. Há dois casos distintos dependendo de
.
Caso 1:
(isto é,
).
A primitiva de é
. Portanto
A primitiva de
Como
é inteiro,
e
; assim o numerador é zero e a integral vale zero. Logo, para
temos
(Interpretação intuitiva: funções
com
têm média zero num período completo.)
Passo 5
Caso 2:
(isto é,
).
Então e
Então
Substituindo na expressão multiplicativa,
Observação: este caso é o único em que a integral não anula; é o resultado clássico ligado ao fato de que
tem um pólo simples em
e a integral ao redor do pólo dá
.
Passo 6
Resumo dos dois casos (já obtidos pelos cálculos anteriores):
- Se
então a integral é zero. - Se
então a integral é .