Mostre que a equação
representa uma esfera. Então diga qual o seu centro e raio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação para mostrar que ela representa uma esfera. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente a equação da esfera no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Nossa meta é colocar essa equação na forma padrão da esfera, que é:
Para isso, vamos começar dividindo todos os termos por 4 para simplificar a equação:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos para preparar o completo do quadrado. Levamos os termos de
e
para o lado esquerdo:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Vamos somar todos os termos constantes do lado esquerdo:
Resposta
A equação representa uma esfera com centro no ponto
e raio igual a
.