Mostre que a equação
4 x^2+4 y^2+4 z^2=16 x-6 y-12
representa uma esfera. Então diga qual o seu centro e raio.
(x1-c1)^2+(x2-c2)^2+(x3-c3)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para mostrar que ela representa uma esfera. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente a equação da esfera no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 16x - 6y - 12
Nossa meta é colocar essa equação na forma padrão da esfera, que é:
(x - c1)^2 + (y - c2)^2 + (z - c3)^2 = r^2
Para isso, vamos começar dividindo todos os termos por 4 para simplificar a equação:
x^2 + y^2 + z^2 = 4x - 32y - 3

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos para preparar o completo do quadrado. Levamos os termos de x e y para o lado esquerdo:
x^2 - 4x + y^2 + 32y + z^2 = -3

Passo 4

Vamos completar o quadrado para as variáveis x e y .
Para x :
x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4
Para y :
y^2 + 32y = (y^2 + 32y + 916) - 916 = (y + 34)^2 - 916

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
(x - 2)^2 - 4 + (y + 34)^2 - 916 + z^2 = -3
Vamos somar todos os termos constantes do lado esquerdo:
(x - 2)^2 + (y + 34)^2 + z^2 = -3 + 4 + 916
(x - 2)^2 + (y + 34)^2 + z^2 = 1 + 916
(x - 2)^2 + (y + 34)^2 + z^2 = 2516

Resposta

A equação representa uma esfera com centro no ponto (2, -34, 0) e raio igual a 54 .
Centro: (2, -34, 0), Raio: 54

Exercícios relacionados