Exercício 2-5: Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas e calcule suas direções principais.
3 x1^2+8 x1 x2-3 x2^2=10

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática em (x1,x2)
3x1^2 + 8x1x2 - 3x2^2 = 10
O conteúdo é diagonalização de forma quadrática via autovalores e autovetores de uma matriz simétrica. Vamos precisar escrever a forma em notação matricial x^TAx, encontrar os autovalores lambda de A, classificar a forma (definida, indefinida, etc.) e obter as direções principais (autovetores).

Passo 2

Escrevemos a forma como
onde corresponde a . Logo

Passo 3

Para caracterizar a forma, achamos os autovalores de A resolvendo
det(A - lambda I) = det3-lambda & 4 4 & -3-lambda = (3-lambda)(-3-lambda) - 16 = 0
Isso dá
-(9 - lambda^2) - 16 = 0 ;Longrightarrow; lambda^2 - 25 = 0 ;Longrightarrow; lambda = 5,,-5
Como há um autovalor positivo e um negativo, a forma é indefinida.

Passo 4

Encontramos agora os autovetores.
Para :
Tomando .
Para :
Tomando .

Passo 5

As direções principais são as retas em direção a v^(1)=(2,1) e v^(2)=(-1,2). Na base ortonormal (após normalização) ou simplesmente nessa base de autovetores, a equação principal fica
5,y1^2 ;-;5,y2^2 ;=;10 Long<=ftrightarrow y1^2 - y2^2 = 2

Resposta

Matriz da forma quadrática:
A = 3 & 44 & -3 .
A forma é indefinida (pois lambda1=5>0 e lambda2=-5<0).
Direções principais dados pelos autovetores
(2,1)^T para lambda=5 e (-1,2)^T para lambda=-5 .

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