Exercício 2-5: Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas e calcule suas direções principais.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática em
O conteúdo é diagonalização de forma quadrática via autovalores e autovetores de uma matriz simétrica. Vamos precisar escrever a forma em notação matricial , encontrar os autovalores de , classificar a forma (definida, indefinida, etc.) e obter as direções principais (autovetores).
Passo 2
Escrevemos a forma como
onde corresponde a . Logo
Passo 3
Para caracterizar a forma, achamos os autovalores de A resolvendo
Como há um autovalor positivo e um negativo, a forma é indefinida.
Passo 4
Encontramos agora os autovetores.
Para :
Tomando .
Para :
Tomando .
Passo 5
As direções principais são as retas em direção a v^(1)=(2,1) e v^(2)=(-1,2). Na base ortonormal (após normalização) ou simplesmente nessa base de autovetores, a equação principal fica