Exercício 1. Uma carta é selecionada aleatoriamente de um barulho comum de 52 cartas. Considere os seguintes eventos:
A -> a carta selecionada é um número
B -> a carta selecionada é um número ímpar
C -> a carta selecionada é do naipe de espadas
Lembrando que um baralho comum possui 4 naipes, e os algarismos são dados por 4 letras ( \mathrm{A}, \mathrm{J}, \mathrm{Q}, \mathrm{K} ) e 9 dígitos numéricos ( 2 a 9). Desta forma, calcule:
a) A probabilidade da carta selecionada ser um número ímpar dado que a carta selecionada é um número;
b) A probabilidade da carta selecionada ser um número dado que a carta selecionada é do naipe de espadas;
c) Pode-se dizer que os eventos A e C são estatisticamente independentes?

Passo 1

O enunciado diz que há um baralho de 52 cartas com 4 naipes e 13 valores em cada naipe: 9 valores numéricos 2,3,\dots,10 e 4 figuras \mathrm{A},\mathrm{J},\mathrm{Q},\mathrm{K}.
Evento A: carta é numérica \implies 9 valores × 4 naipes = 36 cartas.
Evento B: carta é número ímpar \implies valores ímpares em \{2,\dots,10\} são \{3,5,7,9\}, 4 valores × 4 naipes = 16 cartas.
Evento C: carta é espadas \implies 13 cartas.

Passo 2

Para a letra (a) queremos
P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}.
Como B\subset A, temos \lvert B\cap A\rvert=16 e \lvert A\rvert=36, logo
P(B\mid A)=\frac{16/52}{36/52}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}.

Passo 3

Para a letra (b) calculamos
P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}}.
No naipe de espadas há 9 cartas numéricas (valores 2 a 10), de modo que \lvert A\cap C\rvert=9 e \lvert C\rvert=13. Logo
P(A\mid C)=\frac{9/52}{13/52}=\frac{9}{13}.

Passo 4

Para a letra (c) verificamos se
P(A\cap C)\overset{?}{=}P(A)\,P\text{(C)}.
Já temos P(A\cap C)=9/52,
P(A)=\frac{36}{52}=\frac{9}{13},\quad P\text{(C)}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4},
então
P(A)\,P\text{(C)}=\frac{9}{13}\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{52}=P(A\cap C).
Como a igualdade vale, A e C são independentes.

Resposta

a) \tfrac{4}{9}
b) \tfrac{9}{13}
c) Sim, são independentes.

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