(UFPA-2005) Um editor de Futebol em Revista, interessado em verificar se existe aplicação de probabilidades iguais no futebol, considerou um modelo em que três equipes joguem entre si, e em que, em qualquer das partidas, a probabilidade de vitória de cada uma das equipes seja igual a 1/3 e a probabilidade de o jogo terminar empatado seja também de
. Em cada partida, a equipe vencedora ganha 3 pontos e a equipe perdedora nenhum ponto. Em caso de a partida terminar empatada, cada uma das duas equipes recebe 1 ponto. Analisando os confrontos entre as três equipes mais bem colocadas ao final do primeiro turno do Campeonato Brasileiro de 2004, verifi-cou-se que a equipe do Santos obteve 6 pontos; a equipe do São Paulo obteve 3 pontos; e a equipe da Ponte Preta 0 (zero) ponto nos confrontos entre si, conforme a tabela:
Santos
São Paulo
Ponte Preta
Santos
São Paulo
Ponte Preta
Após efetuar corretamente os cálculos probabilísticos, o editor concluiu que num modelo de probabilidades iguais à probabilidade de que se termine com uma equipe com 6 pontos, outra com 3 pontos e a terceira com 0 (zero) ponto é de
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Santos |
|
São Paulo |
Ponte Preta |
|
Santos |
São Paulo |
|
Ponte Preta |
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado descreve um torneio com três equipes que jogam entre si em três partidas independentes. Em cada partida, as três saídas – vitória da primeira equipe, empate ou vitória da segunda equipe – têm probabilidade igual a
. A pontuação é 3 pontos para vitória, 1 ponto para empate e 0 para derrota. Queremos a probabilidade de que, ao final, os pontos sejam exatamente 6, 3 e 0 em alguma ordem.
Passo 2
Escolhendo uma equipe fixa, digamos
, para ficar com 6 pontos, ela precisa vencer as duas partidas que disputa (contra
e contra
). A probabilidade disso é
Para que as outras duas equipes fiquem com 3 e 0 pontos, basta que na partida entre
e
não haja empate, o que ocorre com probabilidade
Multiplicando,
Passo 3
Como qualquer uma das três equipes pode ser a que faz 6 pontos, somamos por simetria: