(UFPA-2005) Um editor de Futebol em Revista, interessado em verificar se existe aplicação de probabilidades iguais no futebol, considerou um modelo em que três equipes joguem entre si, e em que, em qualquer das partidas, a probabilidade de vitória de cada uma das equipes seja igual a 1/3 e a probabilidade de o jogo terminar empatado seja também de 1 / 3. Em cada partida, a equipe vencedora ganha 3 pontos e a equipe perdedora nenhum ponto. Em caso de a partida terminar empatada, cada uma das duas equipes recebe 1 ponto. Analisando os confrontos entre as três equipes mais bem colocadas ao final do primeiro turno do Campeonato Brasileiro de 2004, verifi-cou-se que a equipe do Santos obteve 6 pontos; a equipe do São Paulo obteve 3 pontos; e a equipe da Ponte Preta 0 (zero) ponto nos confrontos entre si, conforme a tabela:
Santos 2 \times 1 São Paulo
Ponte Preta 0 \times 4 Santos
São Paulo 2 \times 0 Ponte Preta
Após efetuar corretamente os cálculos probabilísticos, o editor concluiu que num modelo de probabilidades iguais à probabilidade de que se termine com uma equipe com 6 pontos, outra com 3 pontos e a terceira com 0 (zero) ponto é de
(a) 2 / 9
(b) 3 / 8
(c) 5 / 27
(d) 9 / 15
(e) 1 / 3

Passo 1

O enunciado descreve um torneio com três equipes que jogam entre si em três partidas independentes. Em cada partida, as três saídas – vitória da primeira equipe, empate ou vitória da segunda equipe – têm probabilidade igual a 1/3. A pontuação é 3 pontos para vitória, 1 ponto para empate e 0 para derrota. Queremos a probabilidade de que, ao final, os pontos sejam exatamente 6, 3 e 0 em alguma ordem.

Passo 2

Escolhendo uma equipe fixa, digamos A, para ficar com 6 pontos, ela precisa vencer as duas partidas que disputa (contra B e contra C). A probabilidade disso é
\left(\frac{1}{3}\right)\times\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}.
Para que as outras duas equipes fiquem com 3 e 0 pontos, basta que na partida entre B e C não haja empate, o que ocorre com probabilidade
\frac{2}{3}.
Multiplicando,
\Pr(A=6,\;B,C=3,0\text{ em alguma ordem})=\frac{1}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{27}.

Passo 3

Como qualquer uma das três equipes pode ser a que faz 6 pontos, somamos por simetria:
3\times\frac{2}{27}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.

Resposta

\dfrac{2}{9}

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