Exercício 4. Numa dada população, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser intolerante à lactose é de 1 \%(p=0,01).
a) Um grupo de 10 pessoas é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de que nenhuma pessoa do grupo seja intolerante à lactose?
b) Um grupo de 1000 pessoas é selecionado ao acaso. Quantas pessoas espera-se que, neste grupo, sejam intolerantes à lactose?
c) Forneça um intervalo para este valor.

Passo 1

O enunciado nos dá a probabilidade de intolerância à lactose p=0,01 e pede:
– em um grupo de n=10 pessoas, a probabilidade de nenhuma intolerante;
– em um grupo de n=1000 pessoas, o número esperado de intolerantes;
– um intervalo para esse número.
O conteúdo envolve distribuição binomial e aproximação normal para intervalo de confiança.

Passo 2

Para a parte (a), se X é o número de intolerantes em n=10, então
X \sim \mathrm{Bin}(n=10,\;p=0,01)
e
\Pr(X=0) = (1-p)^n = (1-0,01)^{10} = 0,99^{10}.

Passo 3

Para a parte (b), o valor esperado de X é
\mathbb{E}[X] = n\,p = 1000 \times 0,01 = 10.

Passo 4

Para a parte (c), a variância de X é
\mathrm{Var}(X) = n\,p\,(1-p) = 1000 \times 0,01 \times 0,99 = 9{,}9
e o desvio‐padrão é
\sigma = \sqrt{9{,}9} \approx 3{,}146.
Pela aproximação normal ao binomial, um intervalo de confiança de 95 % para X é
10 \pm 1{,}96 \times 3{,}146 \approx 10 \pm 6{,}16
ou seja, aproximadamente [3,84,\;16,16].

Resposta

a) \;0,99^{10}.
b) \;10.
c) Aproximadamente [3,84,\;16,16] como intervalo de confiança de 95 %.

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