Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Sabemos que, para uma função contínua f em [a,b],
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)
onde F é uma primitiva de f.

Passo 2

Precisamos encontrar uma primitiva de
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Pela tabela de integrais, sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}},
logo uma primitiva é
F(x)=\arctan(x).

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
F\bigl(\sqrt{3}\bigr)-F(0) =\arctan\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\arctan(0).
Sabemos que \arctan(0)=0 e \arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}.

Resposta

\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{3}.

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