Exercício 8: Um chuveiro comum possui 20 aberturas circulares, cada uma com raio de 1,0 \mathrm{~mm}. O chuveiro é conectado a um cano de plástico de raio igual a 0,80 \mathrm{~cm}. Se a velocidade da água nesse cano é 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é sua velocidade ao sair pelas aberturas do chuveiro?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que pedem):
  • O chuveiro tem 20 aberturas circulares (ou seja, N=20 bocais).
  • Raio de cada abertura: r_{\text{bocal}}=1,0\\ \mathrm{mm}.
  • Raio do cano: r_{\text{cano}}=0,80\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade da água no cano: v_{\text{cano}}=3,0\\ \mathrm{m/s}.
    O que se pede:
  • A velocidade da água ao sair por cada abertura do chuveiro (chamei isso de v_{\text{bocal}}).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para água incompressível em escoamento estacionário, vale a conservação da massa que, por litro de fluido sem compressão, reduz-se à equação da continuidade:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde:
  • A_1 é a área da seção do cano,
  • v_1 é a velocidade no cano (aqui v_{\text{cano}}),
  • A_2 é a área total ocupada pelas 20 aberturas do chuveiro,
  • v_2 é a velocidade em cada abertura (aqui v_{\text{bocal}}).
  • A ideia é simples: o volume de água que atravessa uma seção por segundo tem que ser o mesmo em qualquer outra seção (se não há acúmulo ou compressão). Por isso multiplicamos área por velocidade.
  • Assim, isolando v_{\text{bocal}}:
v_{\text{bocal}}=\frac{A_{\text{cano}}}{A_{\text{total\_bocais}}}\,v_{\text{cano}}.

Passo 3

Converter unidades e calcular áreas (passo a passo, sem pular contas):
  • Converter raios para metros:
    • r_{\text{bocal}}=1,0\\ \mathrm{mm}=0,0010\\ \mathrm{m}.
    • r_{\text{cano}}=0,80\\ \mathrm{cm}=0,0080\\ \mathrm{m}.
  • Área de uma seção circular: A=\pi r^2.
    Então:
    • Área do cano:
    A_{\text{cano}}=\pi r_{\text{cano}}^{2}=\pi(0,0080)^{2}=\pi\cdot 6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Área de uma abertura:
    A_{\text{bocal\_um}}=\pi r_{\text{bocal}}^{2}=\pi(0,0010)^{2}=\pi\cdot 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Área total das 20 aberturas:
    A_{\text{total\_bocais}}=20\cdot A_{\text{bocal\_um}}=20\pi\cdot 1{,}0\times10^{-6}=\pi\cdot 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Usar a continuidade e simplificar (mostrando cada passo algébrico):
  • Aplicando a fórmula:
v_{\text{bocal}}=\frac{A_{\text{cano}}}{A_{\text{total\_bocais}}}\,v_{\text{cano}} =\frac{\pi\cdot 6{,}4\times10^{-5}}{\pi\cdot 2{,}0\times10^{-5}}\,v_{\text{cano}}.
  • O fator \pi cancela:
v_{\text{bocal}}=\frac{6{,}4\times10^{-5}}{2{,}0\times10^{-5}}\,v_{\text{cano}}.
  • Calcular a razão numérica:
\frac{6{,}4\times10^{-5}}{2{,}0\times10^{-5}}=\frac{6{,}4}{2{,}0}=3{,}2.
  • Então obtemos a relação:
v_{\text{bocal}}=3{,}2\;v_{\text{cano}}.
(ou seja, a velocidade em cada bocal é 3,2 vezes a velocidade no cano).

Passo 5

Substituir o valor de v_{\text{cano}} e preparar a resposta final:
  • Sabemos que v_{\text{cano}}=3{,}0\\ \mathrm{m/s}, portanto
v_{\text{bocal}}=3{,}2\times 3{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

9,6\\ \mathrm{m/s}

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