Exercício 8: Um chuveiro comum possui 20 aberturas circulares, cada uma com raio de
. O chuveiro é conectado a um cano de plástico de raio igual a
. Se a velocidade da água nesse cano é
, qual é sua velocidade ao sair pelas aberturas do chuveiro?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que pedem):
- O chuveiro tem
aberturas circulares (ou seja, bocais). - Raio de cada abertura:
. - Raio do cano:
. - Velocidade da água no cano:
.
O que se pede: - A velocidade da água ao sair por cada abertura do chuveiro (chamei isso de
).
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para água incompressível em escoamento estacionário, vale a conservação da massa que, por litro de fluido sem compressão, reduz-se à equação da continuidade:
onde:
-
é a área da seção do cano, -
é a velocidade no cano (aqui ), -
é a área total ocupada pelas aberturas do chuveiro, -
é a velocidade em cada abertura (aqui ). - A ideia é simples: o volume de água que atravessa uma seção por segundo tem que ser o mesmo em qualquer outra seção (se não há acúmulo ou compressão). Por isso multiplicamos área por velocidade.
- Assim, isolando
:
Passo 3
Converter unidades e calcular áreas (passo a passo, sem pular contas):
- Converter raios para metros:
-
. -
.
-
- Área de uma seção circular:
.
Então:- Área do cano:
- Área de uma abertura:
- Área total das
aberturas:
Passo 4
Usar a continuidade e simplificar (mostrando cada passo algébrico):
- Aplicando a fórmula:
- O fator
cancela:
- Calcular a razão numérica:
- Então obtemos a relação:
(ou seja, a velocidade em cada bocal é 3,2 vezes a velocidade no cano).
Passo 5
Substituir o valor de
e preparar a resposta final:
- Sabemos que
, portanto