Exercício 6 - Um cilindro de raio 10 cm gira dentro de um recipiente cilíndrico de raio 10,2 \mathrm{~cm}. O espaço entre os cilindros é preenchido com um fluido de viscosidade dinâmica 0,2 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}. Se o cilindro interno gira a 180 rpm , determine a tensão de cisalhamento no fluido e o torque necessário para manter a rotação constante. Considere altura do cilindro de 30 cm e perfil de velocidade linear no gap. ( \mathrm{r}=377,0 \mathrm{~Pa} ; \mathrm{T}=7,13 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado descreve um problema de escoamento cilíndrico (espaço anular) preenchido por um fluido newtoniano de viscosidade dinâmica \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}. O cilindro interno de raio
r_i=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}
gira dentro de um cilindro externo de raio
r_o=10{,}2\\ \mathrm{cm}=0,102\\ \mathrm{m}
com altura
L=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}
a n=180 rpm. Queremos a tensão de cisalhamento \tau no fluido (no gap) e o torque T necessário para manter a rotação, supondo perfil de velocidade linear no espaço entre cilindros.

Passo 2

Convertemos a rotação em rad/s:
n = 180\\ \mathrm{rpm} = \frac{180}{60}\,\mathrm{Hz}=3\\ \mathrm{Hz},
\omega = 2\pi\,n = 2\pi\cdot3 = 6\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

No modelo de perfil linear, a variação de velocidade entre as paredes do gap é tomada como
\Delta v \approx 2\,\omega\,r_i
(considerando que o fluido varia de -\omega r_i a +\omega r_i em relação ao centro do gap). Logo,
\Delta v = 2\,(6\pi)\,(0,10)=1{,}2\pi\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}7699\\ \mathrm{m/s}.
A espessura do gap é
\Delta r = r_o - r_i = 0,102 - 0,10 = 0,002\\ \mathrm{m}.
Assim, a taxa de cisalhamento média é
\dot\gamma = \frac{\Delta v}{\Delta r} = \frac{3{,}7699}{0{,}002}\approx1{,}88496\times10^3\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

A tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\dot\gamma = 0{,}2 \times 1{,}88496\times10^3 \approx 377{,}0\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

O torque no cilindro interno é dado por
T = \tau \times (\text{área lateral}) \times r_i = \tau\cdot\bigl(2\pi r_i L\bigr)\,r_i =2\pi\,\tau\,r_i^2\,L.á
Substituindo valores,
T = 2\pi \times 377{,}0 \times (0{,}10)^2 \times 0{,}30 \approx 7{,}13\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

Tensão de cisalhamento: \tau = 377{,}0\\ \mathrm{Pa}
Torque necessário: T = 7{,}13\\ \mathrm{N\cdot m}

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