Exercício 7. Uma classe tem 30 estudantes que receberam fichas numeradas de 1 a 30 . Um dos alunos distraiu os amigos na hora de sorteio e pegou 5 fichas. Qual a probabilidade dele não ser sorteado?
Exercício 8. Marcos e Paulo fazem parte de um grupo de 10 pessoas que serão dispostas aleatoriamente em fila. Qual a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Marcos e Paulo?

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de probabilidade discreta. No exercício 7 há um sorteio de ficha entre 30 números e um aluno retira 5 fichas antes do sorteio, e queremos a probabilidade de ele não sair sorteado. No exercício 8 temos uma fila aleatória de 10 pessoas e queremos a probabilidade de exatamente 4 pessoas ficarem entre Marcos e Paulo. Para resolver vamos usar contagem de casos (permutações e combinações) e o teorema da probabilidade total.

Passo 2

Para o exercício 7 definimos os eventos:
R = “a ficha do aluno foi removida entre as 5”
Rᶜ = “a ficha do aluno não foi removida”
Se a ficha foi removida, a probabilidade de não ser sorteado é 1. Se não foi removida, a probabilidade de não ser sorteado no sorteio de 1 ficha entre as 25 restantes é \tfrac{24}{25}. Pelo teorema da probabilidade total:
P(\text{não sorteado}) = P(R)\cdot1 + P(R^{c})\cdot\frac{24}{25}.ã
Como P(R)=\tfrac{5}{30} e P(R^{c})=\tfrac{25}{30}, temos:
P(\text{não sorteado}) =\frac{5}{30} + \frac{25}{30}\cdot\frac{24}{25} =\frac{5}{30} + \frac{24}{30} =\frac{29}{30}.ã

Passo 3

Para o exercício 8 contamos quantas ordenações de 10 pessoas têm exatamente 4 pessoas entre Marcos e Paulo. Se Marcos ocupa a posição i, Paulo deve estar em i+5 ou em i-5. Há 5 valores de i para i+5\le10 e 5 valores de i para i-5\ge1, totalizando 10 pares ordenados (i,j) com |i-j|=5. O número total de formas de colocar Marcos e Paulo em duas posições distintas é 10\times9=90. Assim,
P(\text{exatamente 4 entre})=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}.

Resposta

Exercício 7: \dfrac{29}{30}
Exercício 8: \dfrac{1}{9}

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