(Subseção 4.6.1 das “Notas de Aulas”) Dê as equações cartesiana e polar de uma hipérbole equilátera passando pelo ponto (2,0).
Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.

Passo 1

O exercício pede as equações cartesiana e polar de uma hipérbole equilátera (retangular) que passa pelo ponto (2,0). Vamos usar o fato de que essa hipérbole tem assimptotas perpendiculares, o que leva a uma forma padrão simples, e depois converter para coordenadas polares.

Passo 2

Para uma hipérbole retangular centrada na origem e alinhada aos eixos, a forma padrão é
x^2a^2-y^2a^2=1
que equivale a
x^2-y^2=a^2
Como ela passa por (2,0), substituímos x=2 e y=0:
2^2-0=a^2implies a^2=4
Logo, a equação cartesiana é
x^2-y^2=4

Passo 3

Agora fazemos a conversão para polares. Sabendo que x=r cosθ e y=r sinθ, substituímos em x²−y²=4:
r^2(cos^2θ-sin^2θ)=4
Como cos^2θ-sin^2θ=cos2θ, obtemos
r^2cos2θ=4
que é a forma polar da hipérbole equilátera.

Resposta

Equação cartesiana: x^2-y^2=4.
Equação polar: r^2cos2θ=4, ou equivalentemente r^2=tfrac4cos2θ.

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