(Subseção 4.6.1 das “Notas de Aulas”) Dê as equações cartesiana e polar de uma hipérbole equilátera passando pelo ponto
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Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.
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Passo 1
O exercício pede as equações cartesiana e polar de uma hipérbole equilátera (retangular) que passa pelo ponto (2,0). Vamos usar o fato de que essa hipérbole tem assimptotas perpendiculares, o que leva a uma forma padrão simples, e depois converter para coordenadas polares.
Passo 2
Para uma hipérbole retangular centrada na origem e alinhada aos eixos, a forma padrão é
que equivale a
Como ela passa por (2,0), substituímos x=2 e y=0:
Logo, a equação cartesiana é
Passo 3
Agora fazemos a conversão para polares. Sabendo que x=r cosθ e y=r sinθ, substituímos em x²−y²=4:
Como
, obtemos
que é a forma polar da hipérbole equilátera.
Resposta
Equação cartesiana:
.
Equação polar: , ou equivalentemente
.
Equação polar: