Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície quádica
Perguntas implícitas a responder:
- Qual é a classificação da superfície (elipsoide, hiperboloide de 1 ou 2 folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone)?
- Qual é o centro da superfície (se houver)?
- Quais são os comprimentos dos semieixos?
Informações dadas que vamos usar:
- Os coeficientes dos termos quadráticos são
para , para e para . - Não há termos lineares em
nem termos mistos . - O termo constante no lado direito é
.
Passo 2
Entender o que significa “centro” aqui (conceito didático).
- O centro de uma superfície quádica é o ponto em que a superfície é simétrica, isto é, o ponto tal que substituindo
, , não aparecem termos lineares na forma reduzida. - Se na equação original não aparecem termos lineares nem termos mistos, então a superfície está já centrada na origem.
Aplicando isso ao nosso caso: na equação dada não há termos como, ou isolados, nem termos . Portanto o centro é
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão conhecida das superfícies.
- Para reconhecer o tipo e os semieixos é conveniente escrever a equação com o lado direito igual a
. Dividindo ambos os lados por obtemos a forma:
Essa é a forma típica em que aparecem denominadores que correspondem aos quadrados dos semieixos.
Passo 4
Explicar como classificar a superfície a partir da forma padrão.
- Uma superfície definida por
com
é um elipsoide. É uma superfície fechada e limitada (uma “esfera esticada”), porque a soma de quantidades não-negativas igual a
só permite soluções dentro de um conjunto compacto.
- Se alguns dos coeficientes tivessem sinais diferentes (por exemplo um negativo), poderia ser um hiperboloide ou paraboloide etc.; mas aqui todos os coeficientes (os termos quadráticos) são positivos e o lado direito é positivo, condição típica de elipsoide.
Aplicando ao nosso caso: os denominadores
são positivos, então a superfície é um elipsoide.
Passo 5
Identificar os semieixos a partir da forma padrão.
- Na forma
os comprimentos dos semieixos ao longo dos eixos coordenados são
,
e
.
- Comparando com
temos
,
,
. Portanto os semieixos (valores positivos) são as raízes quadradas dessas quantidades.
Passo 6
Calcular explicitamente os comprimentos dos semieixos.
Aqui
é o semieixo ao longo do eixo
,
ao longo do eixo
e
ao longo do eixo
.
Resposta
Elipsoide.
Centro: .
Semieixos: ao longo de
,
ao longo de
,
ao longo de
.
Centro:
Semieixos: