Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície quádica
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=6
Perguntas implícitas a responder:
  • Qual é a classificação da superfície (elipsoide, hiperboloide de 1 ou 2 folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone)?
  • Qual é o centro da superfície (se houver)?
  • Quais são os comprimentos dos semieixos?
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x^{2}, 2 para y^{2} e 3 para z^{2}.
  • Não há termos lineares em x,y,z nem termos mistos xy,yz,xz.
  • O termo constante no lado direito é 6.

Passo 2

Entender o que significa “centro” aqui (conceito didático).
  • O centro de uma superfície quádica é o ponto em que a superfície é simétrica, isto é, o ponto tal que substituindo x\to x+x_0, y\to y+y_0, z\to z+z_0 não aparecem termos lineares na forma reduzida.
  • Se na equação original não aparecem termos lineares nem termos mistos, então a superfície está já centrada na origem.
    Aplicando isso ao nosso caso: na equação dada não há termos como x, y ou z isolados, nem termos xy, xz, yz. Portanto o centro é
(0,0,0).

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão conhecida das superfícies.
  • Para reconhecer o tipo e os semieixos é conveniente escrever a equação com o lado direito igual a 1. Dividindo ambos os lados por 6 obtemos a forma:
\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{2}=1.
Essa é a forma típica em que aparecem denominadores que correspondem aos quadrados dos semieixos.

Passo 4

Explicar como classificar a superfície a partir da forma padrão.
  • Uma superfície definida por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com a^{2},b^{2},c^{2}>0 é um elipsoide. É uma superfície fechada e limitada (uma “esfera esticada”), porque a soma de quantidades não-negativas igual a 1 só permite soluções dentro de um conjunto compacto.
  • Se alguns dos coeficientes tivessem sinais diferentes (por exemplo um negativo), poderia ser um hiperboloide ou paraboloide etc.; mas aqui todos os coeficientes (os termos quadráticos) são positivos e o lado direito é positivo, condição típica de elipsoide.
Aplicando ao nosso caso: os denominadores 6,3,2 são positivos, então a superfície é um elipsoide.

Passo 5

Identificar os semieixos a partir da forma padrão.
  • Na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
os comprimentos dos semieixos ao longo dos eixos coordenados são a, b e c.
  • Comparando com
\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{2}=1,
temos a^{2}=6, b^{2}=3, c^{2}=2. Portanto os semieixos (valores positivos) são as raízes quadradas dessas quantidades.

Passo 6

Calcular explicitamente os comprimentos dos semieixos.
a=\sqrt{6},\qquad b=\sqrt{3},\qquad c=\sqrt{2}.
Aqui a é o semieixo ao longo do eixo x, b ao longo do eixo y e c ao longo do eixo z.

Resposta

Elipsoide.
Centro: (0,0,0).
Semieixos: a=\sqrt{6} ao longo de x, b=\sqrt{3} ao longo de y, c=\sqrt{2} ao longo de z.

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