Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+5=0

Passo 1

O enunciado pede:
  • Classificar a superfície quádrupla dada pela equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+5=0.
  • Determinar o centro (se houver).
  • Determinar os comprimentos dos semieixos.
Informações fornecidas (retiradas diretamente do enunciado):
  • Coeficientes dos termos quadráticos: os coeficientes de x^{2}, y^{2} e z^{2} são todos iguais a 1.
  • Termos lineares: -2x, +4y, -6z.
  • Termo constante: +5.

Passo 2

Estratégia (o que vamos calcular e por quê):
  • Para identificar a superfície e encontrar o centro vamos completar o quadrado em x, em y e em z.
  • Lembrete prático (fórmula de completar quadrado): para qualquer expressão da forma u^{2}+b u vale
u^{2}+b u=(u+\tfrac{b}{2})^{2}-\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Vou aplicar essa fórmula separadamente a x^{2}-2x, a y^{2}+4y e a z^{2}-6z.

Passo 3

Completar o quadrado em x. Usando a fórmula com u=x e b=-2:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.

Passo 4

Completar o quadrado em y. Usando a fórmula com u=y e b=4:
y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4.

Passo 5

Completar o quadrado em z. Usando a fórmula com u=z e b=-6:
z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.

Passo 6

Substituir essas expressões na equação original. Começando de
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+5=0,
substitui-se cada parte completada:
\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)+\bigl((z-3)^{2}-9\bigr)+5=0.
Agrupando os termos constantes:
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}-1-4-9+5=0.
Calcule os constantes: -1-4-9+5=-9. Assim
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}-9=0.

Passo 7

Isolar a soma de quadrados no lado esquerdo:
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=9.
Esta é a forma canônica de uma esfera/ elipsoide especial. Em geral, uma elipsoide centrada em (x_{0},y_{0},z_{0}) é escrita como
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-z_{0})^{2}}{c^{2}}=1.
No nosso caso os coeficientes dos termos ao quadrado são todos 1 e o lado direito é 9, então podemos dividir ambos os lados por 9 para comparar:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{9}+\frac{(z-3)^{2}}{9}=1.

Passo 8

Interpretação e conclusão:
  • Todos os denominadores são iguais a 9, logo a^{2}=b^{2}=c^{2}=9. Assim os semieixos (raios) são a=b=c=\sqrt{9}=3.
  • Como os três semieixos são iguais, a superfície é uma esfera — que é um caso particular de elipsoide (elipsoide com todos os semieixos iguais).
  • O centro é o ponto de translação que apareceu nas completions: (1,-2,3).

Resposta

Classificação: elipsoide (esfera) de raio 3.
Centro: (1,-2,3).
Comprimentos dos semieixos: a=b=c=3.

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