Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
Passo 1
O enunciado pede:
- Classificar a superfície quádrupla dada pela equação
- Determinar o centro (se houver).
- Determinar os comprimentos dos semieixos.
Informações fornecidas (retiradas diretamente do enunciado):
- Coeficientes dos termos quadráticos: os coeficientes de
, e são todos iguais a . - Termos lineares:
, , . - Termo constante:
.
Passo 2
Estratégia (o que vamos calcular e por quê):
- Para identificar a superfície e encontrar o centro vamos completar o quadrado em
, em e em . - Lembrete prático (fórmula de completar quadrado): para qualquer expressão da forma
vale
Vou aplicar essa fórmula separadamente a
, a
e a
.
Passo 3
Completar o quadrado em
. Usando a fórmula com
e
:
Passo 4
Completar o quadrado em
. Usando a fórmula com
e
:
Passo 5
Completar o quadrado em
. Usando a fórmula com
e
:
Passo 6
Substituir essas expressões na equação original. Começando de
substitui-se cada parte completada:
Agrupando os termos constantes:
Calcule os constantes:
. Assim
Passo 7
Isolar a soma de quadrados no lado esquerdo:
Esta é a forma canônica de uma esfera/ elipsoide especial. Em geral, uma elipsoide centrada em
é escrita como
No nosso caso os coeficientes dos termos ao quadrado são todos
e o lado direito é
, então podemos dividir ambos os lados por
para comparar:
Passo 8
Interpretação e conclusão:
- Todos os denominadores são iguais a
, logo . Assim os semieixos (raios) são . - Como os três semieixos são iguais, a superfície é uma esfera — que é um caso particular de elipsoide (elipsoide com todos os semieixos iguais).
- O centro é o ponto de translação que apareceu nas completions:
.
Resposta
Classificação: elipsoide (esfera) de raio
.
Centro: .
Comprimentos dos semieixos: .
Centro:
Comprimentos dos semieixos: