Exercício 3. Determine a equação geral do plano que contém os pontos P=(1,0,2), Q=(2,1,0) e R=(0,1,1). O ponto S=(1,1,1) pertence a este plano?

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede duas coisas:
  • Determinar a equação geral do plano que contém os pontos P=(1,0,2), Q=(2,1,0) e R=(0,1,1).
  • Verificar se o ponto S=(1,1,1) pertence a esse plano.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas de P: (1,0,2).
  • Coordenadas de Q: (2,1,0).
  • Coordenadas de R: (0,1,1).
  • Coordenadas do ponto a testar S: (1,1,1).

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): um plano no espaço pode ser escrito na forma geral
ax+by+cz+d=0,
onde o vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Para achar \mathbf{n} a partir de três pontos do plano, construímos dois vetores direcionais que ficam no plano (por exemplo \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}) e fazemos o produto vetorial (cross product) entre eles:
\mathbf{n}=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR},
pois o produto vetorial de dois vetores do plano produz um vetor perpendicular a ambos — ou seja, um vetor normal ao plano. Em seguida, usamos a equação vetorial do plano
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é um ponto genérico e \mathbf{r}_0 é um ponto conhecido do plano (por exemplo P). Essa equação expande para a forma ax+by+cz+d=0.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,\;1-0,\;0-2)=(1,1,-2).
\overrightarrow{PR}=R-P=(0-1,\;1-0,\;1-2)=(-1,1,-1).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}. Usando a fórmula do determinante:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & -2 \\\\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(1\cdot(-1)-(-2)\cdot1)-\mathbf{j}\,(1\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1))+\mathbf{k}\,(1\cdot1-1\cdot(-1)).
Agora avaliando cada termo:
\mathbf{i}:(1\cdot(-1)-(-2)\cdot1) = -1 -(-2)=1,
-\mathbf{j}:(1\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1)) = -\bigl(-1 - 2\bigr)= -(-3)=3,
\mathbf{k}:(1\cdot1-1\cdot(-1)) = 1 -(-1)=2.
Portanto
\mathbf{n}=(1,3,2).
Explicação curta do que foi usado: o produto vetorial entre (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) (a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1). Aqui isso resultou em (1,3,2).

Passo 5

Montar a equação do plano usando \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0. Tomando \mathbf{r}_0=P=(1,0,2) e \mathbf{r}=(x,y,z), tem-se:
(1,3,2)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,0,2)\bigr)=0.
Expandindo:
1(x-1)+3(y-0)+2(z-2)=0.
Simplificando:
x-1+3y+2z-4=0
x+3y+2z-5=0.
Essa é a equação geral do plano procurado. Como verificação rápida, pode-se checar que Q e R satisfazem a equação:
Para Q=(2,1,0):
2+3\cdot1+2\cdot0-5=2+3-5=0.
Para R=(0,1,1):
0+3\cdot1+2\cdot1-5=3+2-5=0.
Ambos dão zero, então a equação está consistente com os três pontos.

Passo 6

Testar se S=(1,1,1) pertence ao plano, substituindo na equação:
1+3\cdot1+2\cdot1-5=1+3+2-5=1\neq0.
Como a substituição não dá zero, o ponto S não pertence ao plano.

Resposta

x+3y+2z-5=0\n
Não, S não pertence ao plano (verificação: 1+3+2-5=1\neq0).

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