Exercício 2. Encontre as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A=(2,-1,3) e B= (4,1,-2). Em seguida, determine se o ponto P=(3,0,0.5) pertence a essa reta.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço e pede duas coisas:
Encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa por A=(2,-1,3) e B=(4,1,-2).
Verificar se o ponto P=(3,0,0{,}5) pertence a essa reta.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
A=(2,-1,3).
B=(4,1,-2).
P=(3,0,0{,}5).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar um vetor diretor da reta. O vetor diretor \vec d pode ser obtido subtraindo as coordenadas de A de B:
Explicação didática: \vec d é um vetor que aponta na direção da reta; qualquer ponto da reta pode ser obtido partindo de A e somando um múltiplo escalar de \vec d.
Passo 3
Agora escrevemos a equação vetorial (paramétrica vetorial) da reta com parâmetro t:
\vec r=\vec A + t\vec d,
onde \vec r=(x,y,z) é um ponto genérico da reta, \vec A=(2,-1,3) é o ponto dado e t\in\mathbb{R} é o parâmetro (escala). Substituindo:
(x,y,z)=(2,-1,3)+t(2,2,-5).
Desenvolvendo componente a componente obtemos as equações paramétricas:
x=2+2t,
y=-1+2t,
z=3-5t.
Interpretação prática: para t=0 temos o ponto A; para t=1 temos o ponto B. Em prova, sempre verifique esses valores rápidos para confirmar que a forma está correta.
Passo 4
Transformar para a forma simétrica. Se as equações paramétricas são
Igualando essas expressões obtemos as equações simétricas da reta:
\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{3-z}{5}.
Observação: a expressão para z ficou \dfrac{3-z}{5} (e não \dfrac{z-3}{-5}); ambas são equivalentes, mas escolha a forma que ficar mais clara para você.
Passo 5
Agora verificamos se P=(3,0,0{,}5) pertence à reta usando as equações paramétricas (é o jeito mais direto em prova). Substituímos as coordenadas de P e resolvemos para t.
Como as três coordenadas fornecem o mesmo valor de parâmetro t=\tfrac{1}{2}, o ponto P corresponde a um mesmo parâmetro na reta, isto é, P pertence à reta.
Dica rápida para a prova: para checar pertença, sempre tente achar o mesmo t em todas as três coordenadas; se um delas der um t diferente, o ponto não pertence.
Passo 6
Resumo prático do procedimento (para memorizar):
Calcule \vec d=B-A.
Escreva (x,y,z)=A+t\vec d e extraia as paramétricas.
Iguale as expressões de t para obter a forma simétrica.
Para testar um ponto, substitua as coordenadas e verifique se o mesmo t aparece em todas as equações.