Exercício 2. Encontre as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A=(2,-1,3) e B= (4,1,-2). Em seguida, determine se o ponto P=(3,0,0.5) pertence a essa reta.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço e pede duas coisas:
  • Encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa por A=(2,-1,3) e B=(4,1,-2).
  • Verificar se o ponto P=(3,0,0{,}5) pertence a essa reta.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • A=(2,-1,3).
  • B=(4,1,-2).
  • P=(3,0,0{,}5).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar um vetor diretor da reta. O vetor diretor \vec d pode ser obtido subtraindo as coordenadas de A de B:
\vec d=\overrightarrow{AB}=B-A=(4-2,\;1-(-1),\;-2-3).
Calcule cada componente:
4-2=2,\qquad 1-(-1)=2,\qquad -2-3=-5.
Logo
\vec d=(2,2,-5).
Explicação didática: \vec d é um vetor que aponta na direção da reta; qualquer ponto da reta pode ser obtido partindo de A e somando um múltiplo escalar de \vec d.

Passo 3

Agora escrevemos a equação vetorial (paramétrica vetorial) da reta com parâmetro t:
\vec r=\vec A + t\vec d,
onde \vec r=(x,y,z) é um ponto genérico da reta, \vec A=(2,-1,3) é o ponto dado e t\in\mathbb{R} é o parâmetro (escala). Substituindo:
(x,y,z)=(2,-1,3)+t(2,2,-5).
Desenvolvendo componente a componente obtemos as equações paramétricas:
x=2+2t,
y=-1+2t,
z=3-5t.
Interpretação prática: para t=0 temos o ponto A; para t=1 temos o ponto B. Em prova, sempre verifique esses valores rápidos para confirmar que a forma está correta.

Passo 4

Transformar para a forma simétrica. Se as equações paramétricas são
x=2+2t,\qquad y=-1+2t,\qquad z=3-5t,
então isolando t em cada uma:
t=\frac{x-2}{2},\qquad t=\frac{y+1}{2},\qquad t=\frac{3-z}{5}.
Igualando essas expressões obtemos as equações simétricas da reta:
\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{3-z}{5}.
Observação: a expressão para z ficou \dfrac{3-z}{5} (e não \dfrac{z-3}{-5}); ambas são equivalentes, mas escolha a forma que ficar mais clara para você.

Passo 5

Agora verificamos se P=(3,0,0{,}5) pertence à reta usando as equações paramétricas (é o jeito mais direto em prova). Substituímos as coordenadas de P e resolvemos para t.
Da coordenada x:
3=2+2t \quad\Rightarrow\quad 2t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{2}.
Da coordenada y:
0=-1+2t \quad\Rightarrow\quad 2t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{2}.
Da coordenada z (note que 0{,}5=\tfrac{1}{2}):
\frac{1}{2}=3-5t \quad\Rightarrow\quad 5t=3-\tfrac{1}{2}= \tfrac{6}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{2}.
Como as três coordenadas fornecem o mesmo valor de parâmetro t=\tfrac{1}{2}, o ponto P corresponde a um mesmo parâmetro na reta, isto é, P pertence à reta.
Dica rápida para a prova: para checar pertença, sempre tente achar o mesmo t em todas as três coordenadas; se um delas der um t diferente, o ponto não pertence.

Passo 6

Resumo prático do procedimento (para memorizar):
  1. Calcule \vec d=B-A.
  2. Escreva (x,y,z)=A+t\vec d e extraia as paramétricas.
  3. Iguale as expressões de t para obter a forma simétrica.
  4. Para testar um ponto, substitua as coordenadas e verifique se o mesmo t aparece em todas as equações.

Resposta

Paramétricas: x=2+2t,\; y=-1+2t,\; z=3-5t,\; t\in\mathbb{R}
Simétricas: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{3-z}{5}
P pertence à reta: Sim

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