Exercício 4. Classifique os valores de x para os quais a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n (x-2)^nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar os valores de x para os quais a série
sumn=1^infty(-1)^n,(x-2)^nn^2+1
converge ou diverge. Esse é um caso de série de potências centrada em x0=2. Vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência e, em seguida, verificar o comportamento nos extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que a série converge se
limsupntoinftyraiz[n]l|(-1)^n,tfrac(x-2)^nn^2+1r|<1
Note que
raiz[n]l|(-1)^n,tfrac(x-2)^nn^2+1r| =|x-2|(n^2+1)^1/n longrightarrow|x-2|(ntoinfty),
pois limntoinfty(n^2+1)^1/n=1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Pelo teste da raiz concluímos:
  1. Se l|x-2r|<1, então limsupraiz[n]|cdots|<1 e a série converge absolutamente.
  2. Se l|x-2r|>1, então limsupraiz[n]|cdots|>1 e a série diverge.

Passo 4

Faltam os extremos ,x-2=pm1.
  • Para x=3 (isto é, x-2=1) a série vira sumn=1^infty(-1)^n1^nn^2+1 =sumn=1^infty(-1)^n1n^2+1, que converge absolutamente pois sum1/(n^2+1) é convergente ( p=2>1).
  • Para x=1 (isto é, x-2=-1) a série vira sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn^2+1 =sumn=1^infty1n^2+1, que também converge por ser um p-série com p=2>1.

Resposta

A série converge absolutamente para
1 <= x <= 3
e diverge para ,x<1 ou x>3.

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