Exercício 4. Classifique os valores de para os quais a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para classificar os valores de para os quais a série
converge ou diverge. Esse é um caso de série de potências centrada em . Vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência e, em seguida, verificar o comportamento nos extremos do intervalo.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz que a série converge se
pois limntoinfty(n^2+1)^1/n=1. Logo o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Pelo teste da raiz concluímos:
Se l|x-2r|<1, então limsupraiz[n]|cdots|<1 e a série converge absolutamente.
Se l|x-2r|>1, então limsupraiz[n]|cdots|>1 e a série diverge.
Passo 4
Faltam os extremos ,x-2=pm1.
Para x=3 (isto é, x-2=1) a série vira sumn=1^infty(-1)^n1^nn^2+1 =sumn=1^infty(-1)^n1n^2+1, que converge absolutamente pois sum1/(n^2+1) é convergente (p=2>1).
Para x=1 (isto é, x-2=-1) a série vira sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn^2+1 =sumn=1^infty1n^2+1, que também converge por ser um p-série com p=2>1.