Exercício 4. Classifique os valores de para os quais a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente “classificar os valores de para os quais a série
converge ou diverge”.
Conteúdo: séries de potências e testes de convergência (teste da razão, critério de Leibniz, teste da divergência).
O que vamos usar:
Critério da razão para achar o raio de convergência;
Convergência absoluta x condicional;
Critério de Leibniz (séries alternadas);
Teste da divergência e comparação com integral para a soma de .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão na série de termo geral
Calculamos
Então a série converge absolutamente se |x|4<1, ou seja
|x|<4
Passo 3
Agora o caso do extremo x=4:
an(4)=(-1)^n,4^n4^nln n =(-1)^nln n
É uma série alternada com termo positivo
bn=1ln n
bnto0 pois ln ntoinfty.
bn é decrescente para n grande (derivada de 1/ln x é negativa).
Pelo critério de Leibniz, a série converge.
Mas, em valor absoluto, sum 1/ln n diverge (compara com integral dx/ln x).
Logo, em x=4 temos convergência condicional.
Passo 4
Caso x=-4:
an(-4)=(-1)^n,(-4)^n4^nln n =(-1)^n(-4)^n4^nln n =4^n4^nln n =1ln n
Aqui o termo geral é positivo e tende a zero, mas a série sum 1/ln n diverge (novo uso da comparação com a integral).
Então em x=-4 diverge.
Passo 5
Para |x|>4, o teste da razão dá |x|/4>1, ou seja, o termo geral não vai a zero rápido o suficiente e a série diverge imediatamente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n,x^n4^nln n
converge absolutamente para |x|<4, converge apenas condicionalmente em x=4, e diverge para x=-4 e para todo |x|>4.