Exercício 4. Classifique os valores de x para os quais a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n x^n4^n ln n

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “classificar os valores de x para os quais a série
sumn=1^infty(-1)^n,x^n4^n,ln n
converge ou diverge”.
Conteúdo: séries de potências e testes de convergência (teste da razão, critério de Leibniz, teste da divergência).
O que vamos usar:
  • Critério da razão para achar o raio de convergência;
  • Convergência absoluta x condicional;
  • Critério de Leibniz (séries alternadas);
  • Teste da divergência e comparação com integral para a soma de 1/ln n.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão na série de termo geral
an(x)=(-1)^n,x^n4^n,ln n
Calculamos
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty|x|^,n+1/[4^,n+1ln(n+1)]|x|^,n/[4^,nln n] =limntoinfty|x|4,ln nln(n+1) =|x|4
Então a série converge absolutamente se |x|4<1, ou seja
|x|<4

Passo 3

Agora o caso do extremo x=4:
an(4)=(-1)^n,4^n4^nln n =(-1)^nln n
É uma série alternada com termo positivo
bn=1ln n
  1. bnto0 pois ln ntoinfty.
  2. bn é decrescente para n grande (derivada de 1/ln x é negativa).
    Pelo critério de Leibniz, a série converge.
    Mas, em valor absoluto,
    sum 1/ln n diverge (compara com integral dx/ln x).
    Logo, em x=4 temos convergência condicional.

Passo 4

Caso x=-4:
an(-4)=(-1)^n,(-4)^n4^nln n =(-1)^n(-4)^n4^nln n =4^n4^nln n =1ln n
Aqui o termo geral é positivo e tende a zero, mas a série
sum 1/ln n diverge (novo uso da comparação com a integral).
Então em x=-4 diverge.

Passo 5

Para |x|>4, o teste da razão dá |x|/4>1, ou seja, o termo geral não vai a zero rápido o suficiente e a série diverge imediatamente.

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^n,x^n4^nln n
converge absolutamente para |x|<4, converge apenas condicionalmente em x=4, e diverge para x=-4 e para todo |x|>4.

Exercícios relacionados