Questāo 3 (valor: 2.5). Calcule a área e o comprimento de arco do laço de curvo
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica \r
e pede a área e o comprimento de arco do seu laço, ou seja, da parte fechada onde a curva se auto-intersecta. Para resolver, vamos (i) achar os valores de
em que ela se cruza, (ii) usar a fórmula de área para curva paramétrica e (iii) usar a fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Para encontrar a auto-interseção, igualamos
e impomos :
e impomos
isso dá
Logo os pontos de auto-interseção ocorrem em
e
, e o laço é percorrido para
variando de
até
.
Passo 3
A área encerrada por uma curva fechada paramétrica é \r
Aqui \r
Calculamos o integrando:\r
Portanto \r
Passo 4
O comprimento de arco é \r
Como \r
temos \r
Resposta
Área do laço:
. \r
Comprimento de arco do laço: .
Comprimento de arco do laço: