Questāo 3 (valor: 2.5). Calcule a área e o comprimento de arco do laço de curvo lx=-t^33+t y=t^2-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \r
x(t) = -tfract^33 + t, y(t)=t^2-1 \r
e pede a área e o comprimento de arco do seu laço, ou seja, da parte fechada onde a curva se auto-intersecta. Para resolver, vamos (i) achar os valores de t em que ela se cruza, (ii) usar a fórmula de área para curva paramétrica e (iii) usar a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Para encontrar a auto-interseção, igualamos
,y(t1)=y(t2)implies t2=pm t1
e impomos x(-t)=x(t):
-,(-t)^33+(-t);=;-,t^33+t
isso dá
t^33-t ;=;-t^33+t ;Longrightarrow; tl(tfract^23-1r)=0 ;Longrightarrow; t^2=3 (tneq0)
Logo os pontos de auto-interseção ocorrem em t=-raiz3 e t=+raiz3, e o laço é percorrido para t variando de -raiz3 até +raiz3.

Passo 3

A área encerrada por uma curva fechada paramétrica é \r
A ;=;12integralt1^t2l(x,y' - y,x'r),dt \r
Aqui \r
x'(t)=1-t^2, y'(t)=2t \r
Calculamos o integrando:\r
x,y'-y,x' =l(-tfract^33+tr)(2t);-;(t^2-1)(1-t^2) =tfrac13t^4+1 \r
Portanto \r
A =12integral-raiz3^raiz3!l(tfrac13t^4+1r),dt =integral0^raiz3!l(tfrac13t^4+1r),dt =[t^515+t]0^raiz3 =8raiz35

Passo 4

O comprimento de arco é \r
L=integralt1^t2raizx'(t)^2+y'(t)^2,dt \r
Como \r
x'(t)^2+y'(t)^2 =(1-t^2)^2+(2t)^2 =(t^2+1)^2, \r
temos \r
L =integral-raiz3^raiz3(t^2+1),dt =2integral0^raiz3(t^2+1),dt =2l[tfract^33+tr]0^raiz3 =4raiz3

Resposta

Área do laço: 8raiz35. \r
Comprimento de arco do laço: 4raiz3.

Exercícios relacionados