Questão 4 (valor: 2.5). Esboce a curva dada por
. Eliminando . nas equaçōes, ache a equacaio na forma cartesiana.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede que eliminemos o parâmetro
para obter a forma cartesiana e, em seguida, esbocemos o gráfico.
Passo 2
Da equação
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
valendo sempre
.
Passo 3
Substituindo
em
vem
Logo a equação cartesiana é
Passo 4
Para esboçar, note:
Em a curva passa por
.
Em ela atinge
.
Em ela atinge
.
Além disso
Em
Em
Em
Além disso
para todo
, logo o gráfico é sempre crescente. A segunda derivada muda de sinal em
(infletindo em
), de modo que a concavidade é para baixo se
e para cima se
.
Resposta
A equação cartesiana é
e o esboço é uma curva estritamente crescente que passa por
,
,
, com inflexão em
.