Questão 4 (valor: 2.5). Esboce a curva dada por cx=e^2 t y=t^3+2 t. Eliminando . nas equaçōes, ache a equacaio na forma cartesiana.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = e^2t, y = t^3 + 2t
e pede que eliminemos o parâmetro t para obter a forma cartesiana e, em seguida, esbocemos o gráfico.

Passo 2

Da equação
x = e^2t
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln x = 2t Longrightarrow t = tfrac12ln x,
valendo sempre x>0.

Passo 3

Substituindo t = tfrac12ln x em y = t^3 + 2t vem
y = l(tfrac12ln xr)^3 ;+; 2l(tfrac12ln xr) = tfrac18(ln x)^3 + ln x
Logo a equação cartesiana é
y = tfrac18(ln x)^3 + ln x, x>0

Passo 4

Para esboçar, note:
Em t=0 a curva passa por (1,0).
Em t=1 ela atinge (e^2,3).
Em t=-1 ela atinge (e^-2,-3).
Além disso
dydx = ddt(t^3+2t)ddt(e^2t) = 3t^2+22e^2t>0
para todo t, logo o gráfico é sempre crescente. A segunda derivada muda de sinal em t=0 (infletindo em (1,0)), de modo que a concavidade é para baixo se 0<x<1 e para cima se x>1.

Resposta

A equação cartesiana é
y = tfrac18(ln x)^3 + ln x, x>0,
e o esboço é uma curva estritamente crescente que passa por (e^-2,-3), (1,0), (e^2,3), com inflexão em (1,0).

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