Exercício 3.2.5. Um cliente que visita o departamento de roupas masculinas de uma loja compra um terno com probabilidade , uma gravata com probabilidade e uma camisa com probabilidade . O cliente compra um terno e uma gravata com probabilidade , um terno e uma camisa com probabilidade e uma gravata e uma camisa com probabilidade ; compra os três itens com probabilidade . Considere os eventos: : cliente compra um terno; : cliente compra uma gravata; : cliente compra uma camisa.
(a) Os eventos e são independentes?
(b) Qual a probabilidade de que o cliente não compre nenhum dos itens?
(c) Dado que o cliente não vai comprar uma gravata, qual a probabilidade de que compre um terno?
(d) Dado que o cliente vai comprar uma camisa, qual a probabilidade de que também compre uma gravata e um terno?
Passo 1
O enunciado define três eventos no departamento de roupas masculinas:
– : o cliente compra um terno, com .
– : o cliente compra uma gravata, com .
– : o cliente compra uma camisa, com .
Também são dadas as probabilidades das interseções:
Precisamos responder:
(a) se são independentes;
(b) ;
(c) P(Amid B^c);
(d) P(Acap Bmid C).
Passo 2
Para independência mútua é preciso verificar todas as igualdades
P(Xcap Y)=P(X),P(Y)
para cada par (X,Y) e também
P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)
Calculamos
P(A),P(B)=25cdot512=1060=16,
porém foi dado P(Acap B)=tfrac215=tfrac860neqtfrac16.
Logo falha a condição para o par (A,B), e portanto A,B,C não são independentes (mesmo que satisfaçam a igualdade tripla).
Passo 3
Usamos o princípio da inclusão-exclusão para
P(Acup Bcup C) = P(A)+P(B)+P(C) - l[P(Acap B)+P(Acap C)+P(Bcap C)r] + P(Acap Bcap C)
Substituindo:
P(Acup Bcup C) =25+512+12 -l(215+1760+14r) +112 =4460=1115
Portanto a probabilidade de não comprar nenhum item é