Exercício 3.2.5. Um cliente que visita o departamento de roupas masculinas de uma loja compra um terno com probabilidade 25, uma gravata com probabilidade 512 e uma camisa com probabilidade 12. O cliente compra um terno e uma gravata com probabilidade 215, um terno e uma camisa com probabilidade 1760 e uma gravata e uma camisa com probabilidade 14; compra os três itens com probabilidade 112. Considere os eventos:
A : O cliente compra um terno;
B : O cliente compra uma gravata;
C : O cliente compra uma camisa.
(a) Os eventos A, B e C são independentes?
(b) Qual a probabilidade de que o cliente não compre nenhum dos itens?
(c) Dado que o cliente não vai comprar uma gravata, qual a probabilidade de que compre um terno?
(d) Dado que o cliente vai comprar uma camisa, qual a probabilidade de que também compre uma gravata e um terno?

Passo 1

O enunciado define três eventos no departamento de roupas masculinas:
A: o cliente compra um terno, com P(A)=tfrac25.
B: o cliente compra uma gravata, com P(B)=tfrac512.
C: o cliente compra uma camisa, com P(C)=tfrac12.
Também são dadas as probabilidades das interseções:
P(Acap B)=tfrac215, P(Acap C)=tfrac1760, P(Bcap C)=tfrac14, P(Acap Bcap C)=tfrac112
Precisamos responder:
(a) se A,B,C são independentes;
(b) P(AcapBcapC);
(c) P(Amid B^c);
(d) P(Acap Bmid C).

Passo 2

Para independência mútua é preciso verificar todas as igualdades
P(Xcap Y)=P(X),P(Y)
para cada par (X,Y) e também
P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)
Calculamos
P(A),P(B)=25cdot512=1060=16,
porém foi dado P(Acap B)=tfrac215=tfrac860neqtfrac16.
Logo falha a condição para o par (A,B), e portanto A,B,C não são independentes (mesmo que satisfaçam a igualdade tripla).

Passo 3

Usamos o princípio da inclusão-exclusão para
P(Acup Bcup C) = P(A)+P(B)+P(C) - l[P(Acap B)+P(Acap C)+P(Bcap C)r] + P(Acap Bcap C)
Substituindo:
P(Acup Bcup C) =25+512+12 -l(215+1760+14r) +112 =4460=1115
Portanto a probabilidade de não comprar nenhum item é
P(AcapBcapC) =1-P(Acup Bcup C) =1-1115 =415

Passo 4

Para P(Amid B^c) usamos
P(Amid B^c) =P(Acap B^c)P(B^c) =P(A)-P(Acap B)1-P(B)
Logo
P(Acap B^c)=25-215=415, P(B^c)=1-512=712,
portanto
P(Amid B^c) =tfrac415tfrac712 =415cdot127 =1635

Passo 5

Para P(Acap Bmid C) aplicamos
P(Acap Bmid C) =P(Acap Bcap C)P(C) =tfrac112tfrac12 =16

Resposta

(a) Não são independentes.
(b) tfrac415.
(c) tfrac1635.
(d) tfrac16.

Exercícios relacionados