EXERCÍCIO 4. Colocando a maior potência de x em evidência e usando o Teorema 3, determine:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+3 x-1}{2 x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{3}+3x-1}{2x^{2}+x+1}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito. Vamos usar o Teorema 3 (limite do quociente é quociente dos limites, se o denominador não tende a zero) e fatorar a maior potência de x no numerador e no denominador.

Passo 2

Fatorando x^{3} no numerador e x^{2} no denominador, reescrevemos:
\frac{x^{3}+3x-1}{2x^{2}+x+1} = \frac{x^{3}\bigl(1 + \tfrac{3}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{3}}\bigr)}{x^{2}\bigl(2 + \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}.

Passo 3

Simplificando o fator comum x^{2}:
\frac{x^{3}\bigl(1 + \tfrac{3}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{3}}\bigr)}{x^{2}\bigl(2 + \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)} = x \,\cdot\frac{1 + \tfrac{3}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{3}}}{2 + \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Ao x\to -\infty, temos
\lim_{x\to -\infty}x = -\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{k}}=0\quad(k>0).
Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{1 + \tfrac{3}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{3}}}{2 + \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}} = \frac{1+0-0}{2+0+0} = \tfrac12.
Pelo Teorema 3, o limite do produto é
-\infty \times \tfrac12 = -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados