EXERCÍCIO 4. Colocando a maior potência de x em evidência e usando o Teorema 3, determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{2}-5 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(3x^{2}-5x+2\bigr)
usando o Teorema 3, que afirma que se \lim_{x\to+\infty}g(x)=L (com L finito) e \lim_{x\to+\infty}h(x)=\pm\infty,
então \lim_{x\to+\infty}g(x)\,h(x)=L\cdot(\pm\infty).
Aqui vamos escrever o polinômio como produto de x^2 por uma função que tende a um número finito.

Passo 2

Colocando x^2 em evidência, temos
3x^{2}-5x+2 = x^{2}\Bigl(3 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr).

Passo 3

Analisamos o limite da parte entre parênteses:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(3 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr) =3 - 0 + 0 =3.

Passo 4

Por outro lado,
\lim_{x\to+\infty}x^{2}=+\infty.
Pelo Teorema 3 (produto de limites, mesmo envolvendo infinito),
\lim_{x\to+\infty}x^{2}\,\Bigl(3 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr) = \bigl(\lim_{x\to+\infty}x^{2}\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to+\infty}(3 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{2}{x^{2}})\bigr) =+\infty\cdot 3 =+\infty.

Resposta

+\infty

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