Num triângulo retângulo sabe-se que o cosseno de um ângulo \alpha vale 5 / 13. Determine as possíveis medidas dos três lados do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo e que
\cos(\alpha)=\frac{5}{13}.
O conteúdo aqui é trigonometria em triângulo retângulo, em que usamos a definição de cosseno como razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e o Teorema de Pitágoras para encontrar o outro cateto.

Passo 2

Pela definição de cosseno em triângulo retângulo, se chamarmos de b o cateto adjacente ao ângulo \alpha e de c a hipotenusa, temos
\cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{5}{13}.
Logo, podemos tomar
b=5k, \quad c=13k,
para algum fator de escala k>0.

Passo 3

Para encontrar o cateto oposto a, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2
Substituindo b=5k e c=13k, fica
a^2 + (5k)^2 = (13k)^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + 25k^2 = 169k^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 144k^2 \quad\Longrightarrow\quad a = 12k.

Passo 4

Portanto, as medidas dos lados do triângulo são, à semelhança,
a = 12k,\quad b = 5k,\quad c = 13k,
com k>0. Se quisermos o triângulo primitivo (com lados inteiros mínimos), basta tomar k=1, obtendo o clássico triplo pitagórico (5,12,13).

Resposta

As medidas dos lados, em função de um fator de escala k>0, são
\bigl(12k,\;5k,\;13k\bigr),
onde 5k é o cateto adjacente a \alpha, 12k o cateto oposto e 13k a hipotenusa. Em particular, para k=1 obtemos (5,12,13).

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