EXERCÍCIO 3. Seja f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}(x-1).
(a) Usando as Leis dos Limites Infinitos e o EXERCÍCIO 2. encontre \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).
(b) Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos x e y.
(c) Estude o sinal da função f(x) (i.e. intervalos onde é positiva e intervalos onde é negativa). Complete a tabela:
(x-2)^{4} (x+1)^{3} (x-1) f(x)
(-\infty,-1) + - - +
(-1,1)
(1,2)
(2, \infty)
(d) Utilize os itens anteriores para esboçar o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
f(x) = (x-2)^{4}(x+1)^{3}(x-1),
que é de grau 4+3+1=8 com coeficiente líder positivo. Precisamos
  1. calcular \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x);
  2. encontrar interseções com eixos x e y;
  3. estudar o sinal em quatro intervalos: (-\infty,-1), (-1,1), (1,2) e (2,\infty);
  4. esboçar o gráfico usando essas informações.

Passo 2

Para limites infinitos de polinômio, vale que o comportamento é dado pelo termo de grau mais alto, aqui x^8 com coeficiente positivo. Logo,
\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty, \quad \lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty.

Passo 3

Interseção com o eixo x são as raízes de f:
x-2=0\implies x=2,\quad x+1=0\implies x=-1,\quad x-1=0\implies x=1.
Interseção com eixo y é f(0):
f(0) = (-2)^{4}\,(1)^{3}\,(-1) = 16\cdot1\cdot(-1) = -16.
Então os pontos são (2,0), (-1,0), (1,0) e (0,-16).

Passo 4

Em cada intervalo, avaliaremos o sinal de (x-2)^{4}, de (x+1)^{3} e de (x-1):
Intervalo | (x-2)^{4} | (x+1)^{3} | (x-1) | f(x)
-------------|:--------------😐:-------------😐:---------😐:--------: (-\infty,-1) | + | – | – | + (-1,1) | + | + | – | – (1,2) | + | + | + | + (2,\infty) | + | + | + | +

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • Como x\to-\infty, f(x)\to+\infty.
  • Em x=-1 (multiplicidade 3, ímpar), o gráfico cruza de + para – e fica negativo até x=1.
  • Em x=1 (multiplicidade 1, ímpar), cruza de – para + e fica positivo até x=2.
  • Em x=2 (multiplicidade 4, par), toca o eixo e volta para cima sem mudar de sinal.
  • Para x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
    O esboço passa por (0,-16) no intervalo negativo e mostra achatamento em x=-1 e em x=2.

Resposta

(a) \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
(b) Interseções: eixo x em (-1,0), (1,0), (2,0); eixo y em (0,-16).
(c) Tabela de sinal dada em Passo 4.
(d) Gráfico qualitativo descrito no Passo 5.

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