EXERCÍCIO 3. Seja
.
(a) Usando as Leis dos Limites Infinitos e o EXERCÍCIO 2. encontre
e
.
(b) Encontre a interseção do gráfico de
com os eixos
e
.
(c) Estude o sinal da função
(i.e. intervalos onde é positiva e intervalos onde é negativa). Complete a tabela:
+
-
-
+
(d) Utilize os itens anteriores para esboçar o gráfico de
.
(a) Usando as Leis dos Limites Infinitos e o EXERCÍCIO 2. encontre
(b) Encontre a interseção do gráfico de
(c) Estude o sinal da função
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+ | - | - | + |
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Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
que é de grau
com coeficiente líder positivo. Precisamos
- calcular
e ; - encontrar interseções com eixos
e ; - estudar o sinal em quatro intervalos:
, , e ; - esboçar o gráfico usando essas informações.
Passo 2
Para limites infinitos de polinômio, vale que o comportamento é dado pelo termo de grau mais alto, aqui
com coeficiente positivo. Logo,
Passo 3
Interseção com o eixo
são as raízes de
:
Interseção com eixo
é
:
Então os pontos são
,
,
e
.
Passo 4
Em cada intervalo, avaliaremos o sinal de
, de
e de
:
Intervalo |
|
|
|
-------------|:--------------😐:-------------😐:---------😐:--------: | + | – | – | +
| + | + | – | –
| + | + | + | +
| + | + | + | +
-------------|:--------------😐:-------------😐:---------😐:--------:
Passo 5
Esboço qualitativo:
- Como
, . - Em
(multiplicidade 3, ímpar), o gráfico cruza de + para – e fica negativo até . - Em
(multiplicidade 1, ímpar), cruza de – para + e fica positivo até . - Em
(multiplicidade 4, par), toca o eixo e volta para cima sem mudar de sinal. - Para
, .
O esboço passa porno intervalo negativo e mostra achatamento em e em .
Resposta
(a)
(b) Interseções: eixo em
,
,
; eixo
em
.
(c) Tabela de sinal dada em Passo 4.
(d) Gráfico qualitativo descrito no Passo 5.
(b) Interseções: eixo
(c) Tabela de sinal dada em Passo 4.
(d) Gráfico qualitativo descrito no Passo 5.