Questão 20 pontos
Seja (y+3)^216+(x-1)^29=1. Descreva a cônica, identifique os elementos e faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
(y+3)^216+(x-1)^29=1
O conteúdo é seção cônica (elipse). Vamos reconhecer o tipo, pôr em forma padrão, identificar centro, semi-eixos, vértices, focos, diretizes e fazer o esboço do gráfico.

Passo 2

A equação já está em forma padrão de elipse centrada em (h,k):
(y-k)^2a^2 + (x-h)^2b^2 = 1
Comparando, vemos que h=1, k=-3, a^2=16, b^2=9. Como a^2>b^2, o eixo maior é paralelo ao eixo y. Logo
centro C=(1,-3), a=4, b=3

Passo 3

Os vértices estão a uma distância a ao longo do eixo maior (vertical), ou seja
V1=(1,,-3+4)=(1,1), V2=(1,,-3-4)=(1,-7)
Os co-vértices estão a uma distância b ao longo do eixo menor (horizontal):
C1=(1+3,,-3)=(4,-3), C2=(1-3,,-3)=(-2,-3)

Passo 4

Para encontrar os focos calculamos
c^2=a^2-b^2=16-9=7, c=raiz7
Como o eixo maior é vertical, os focos são
F1=(1,,-3+raiz7), F2=(1,,-3-raiz7)

Passo 5

A excentricidade é
e=ca=raiz74
As diretizes de uma elipse vertical são linhas horizontais dadas por
y-k=pmae
Aqui
ae=4raiz7/4=16raiz7,
logo as diretizes são
y+3 = pm 16raiz7

Passo 6

Para esboçar o gráfico marque: o centro C=(1,-3), os vértices (1,1) e (1,-7), os co-vértices (4,-3) e (-2,-3). Desenhe uma curva suave unindo esses pontos em forma de “ovo” simétrico em torno do eixo vertical que passa por x=1.

Resposta

A cônica é uma elipse de centro em (1,-3) com semi-eixo maior a=4 vertical e semi-eixo menor b=3 horizontal. Vértices em (1,1) e (1,-7), co-vértices em (4,-3) e (-2,-3), focos em l(1,-3pmraiz7r) e diretizes nas retas y+3=pm tfrac16raiz7. O gráfico é o esboço da elipse que passa por esses pontos.

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