Questão 20 pontos
Seja
. Descreva a cônica, identifique os elementos e faça o gráfico.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
O conteúdo é seção cônica (elipse). Vamos reconhecer o tipo, pôr em forma padrão, identificar centro, semi-eixos, vértices, focos, diretizes e fazer o esboço do gráfico.
Passo 2
A equação já está em forma padrão de elipse centrada em
:
Comparando, vemos que
,
,
,
. Como
, o eixo maior é paralelo ao eixo
. Logo
Passo 3
Os vértices estão a uma distância
ao longo do eixo maior (vertical), ou seja
Os co-vértices estão a uma distância
ao longo do eixo menor (horizontal):
Passo 4
Para encontrar os focos calculamos
Como o eixo maior é vertical, os focos são
Passo 5
A excentricidade é
As diretizes de uma elipse vertical são linhas horizontais dadas por
Aqui
logo as diretizes são
Passo 6
Para esboçar o gráfico marque: o centro
, os vértices
e
, os co-vértices
e
. Desenhe uma curva suave unindo esses pontos em forma de “ovo” simétrico em torno do eixo vertical que passa por
.
Resposta
A cônica é uma elipse de centro em
com semi-eixo maior
vertical e semi-eixo menor
horizontal. Vértices em
e
, co-vértices em
e
, focos em
e diretizes nas retas
. O gráfico é o esboço da elipse que passa por esses pontos.