Exercício 3.6: Um reservatório de 1,80 \mathrm{~m}^{3} de capacidade contém ar comprimido a 2 atm efetivas (ou manométrica) numa temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Acionou-se o compressor até que o ar atingiu a 6 atm manométricas. Achar a nova temperatura do ar, sabendo-se que o volume de ar ficou reduzido a 0,809 \mathrm{~m}^{3}.
Dados: \quad V_{1}=1,80 \mathrm{~m}^{3} ; \quad p_{1}=2 \mathrm{~atm}+1 \mathrm{~atm}=3 \mathrm{~atm} ; \quad T_{1}=20+273=293 \mathrm{~K} ; \quad T_{2}= ? p_{2}=6 \mathrm{~atm}+1 \mathrm{~atm}=7 \mathrm{~atm} ; ~ V_{2}=0,809 \mathrm{~m}^{3}

Passo 1

O enunciado trata de um gás confinado num reservatório, com massa de ar constante, passando de um estado (p_{1},V_{1},T_{1}) para um novo estado (p_{2},V_{2},T_{2}). Os dados são:
V_{1}=1,80\\ \mathrm{m}^{3},\quad p_{1}=2\\ \mathrm{atm_{man}}+1\\ \mathrm{atm}=3\\ \mathrm{atm},\quad T_{1}=20^{\circ}\mathrm{C}+273=293\\ \mathrm{K},
V_{2}=0,809\\ \mathrm{m}^{3},\quad p_{2}=6\\ \mathrm{atm_{man}}+1\\ \mathrm{atm}=7\\ \mathrm{atm},
e queremos determinar T_{2}. O conteúdo aplicado será a lei dos gases ideais.

Passo 2

Para um gás ideal de massa constante vale
pV = nR T,
logo, entre dois estados desse gás,
\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}} \;=\;\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}.
Essa relação decorre de manter n e R constantes.

Passo 3

Isolando T_{2} na equação acima, obtemos
T_{2} \;=\;\frac{p_{2}\,V_{2}\,T_{1}}{p_{1}\,V_{1}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
T_{2} =\frac{7\\ \mathrm{atm}\;\times\;0,809\\ \mathrm{m}^{3}\;\times\;293\\ \mathrm{K}} {3\\ \mathrm{atm}\;\times\;1,80\\ \mathrm{m}^{3}} =\frac{7\times0,809\times293}{3\times1,80}\\ \mathrm{K}.
Calculando,
7\times0,809=5,663,\quad 5,663\times293\approx1659,3,\quad 3\times1,80=5,4,
T_{2}\approx\frac{1659,3}{5,4}\approx307,3\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Para referência, em graus Celsius:
T_{2}-273\approx307,3-273=34,3^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

T_{2}\approx307\\ \mathrm{K} (ou cerca de 34^{\circ}\mathrm{C}).

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