Exercício 4. Para o conjunto de dados abaixo, testar as variâncias populacionais. Execute o teste F unilateral à direita e considere alpha=0.01
##
## X: 173.6 217.5 178.4 206.3 196.2 174.6 209.1 207.4 193.3 230.9 157.4 206.9 168.1 226.1
198.9
## Y: 51.4 56.2 36.8 49.3 62.6 44.6 55.3 44.7 50 56.5 67.7 47.1 47.9 56.8 57.9
##
## Valor calculado: 7.7906 Valor tabelado: 3.6975 p-value: 0.0002261966

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras independentes, cada uma de tamanho nX=15 e nY=15, e pede para testar se as variâncias populacionais são iguais contra a alternativa de que a variância de X é maior que a de Y. O procedimento é o teste F unilateral à direita com nível de significância alpha=0,01. Vamos precisar calcular as variâncias amostrais, a estatística F, o valor crítico de uma distribuição F com nu1=14 e nu2=14, e comparar ou usar o p-value.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H0: sigmaX^2 = sigmaY^2
H1: sigmaX^2 > sigmaY^2
A estatística do teste é
F = sX^2sY^2,
que sob H0 segue aproximadamente uma distribuição Fnu1,nu2 com nu1 = nX-1 e nu2 = nY-1, ambas iguais a 14.

Passo 3

Calculando as variâncias amostrais de X e Y (por exemplo no R ou à mão), obtém-se
sX^2approx 365,48, sY^2approx 46,93,
e portanto
Fcalc =sX^2sY^2 approx 7,7906

Passo 4

O valor crítico para alpha=0,01 e F14,14 no lado direito é
Fcrit = F0,99(14,14)approx 3,6975
Além disso, o p-value associado a Fcalc=7,7906 é aproximadamente 0,0002262.

Passo 5

Como
Fcalc=7,7906 > Fcrit=3,6975
e também p-value=0,0002262<alpha=0,01, rejeitamos H0. Há evidência de que a variância de X seja maior que a de Y ao nível de 1%.

Resposta

Rejeita-se H0; há evidência, ao nível alpha=0,01, de que sigmaX^2>sigmaY^2.

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