Exercício 5. Considerando a condução de calor em uma barra de comprimento
, é possível mostrar, utilizando a 1a Lei da Termodinâmica, Lei de Fourier e outros conceitos, que a Temperatura nessa barra satisfaz a equação diferencial
em que
é a constante de difusão térmica, com Condições de Contorno dadas por
Esta EDP é denominada Equação do Calor.
(a) Supondo
, mostre que a Equação do Calor equivale a
(b) Mostre que se
ou
, a única solução para a EDO em
é a nula;
(c) Mostre que, se
, a solução geral é da forma
em que
(a) Supondo
(c) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado descreve a condução de calor numa barra
sujeita à equação
com condições de contorno homogêneas
,
e condição inicial
.
O método a usar é separação de variáveis, buscando .
O método a usar é separação de variáveis, buscando
Passo 2
Substituindo
na equação do calor,
Dividindo por
obtemos
onde
é a constante de separação.
Passo 3
Analisamos os três casos para
:
-
: então , logo .
Impondoe , daí .
Só há solução trivial. -
: escreva . A EDO é com solução .
Impore força , de novo solução trivial.
Passo 4
Se
, defina
(
). A EDO torna-se
com solução geral
As condições
e
dão
e
Para
, da equação
vem
A solução geral é combinação linear:
Passo 5
Para determinar os coeficientes
, impomos
:
Pela ortogonalidade das funções
em
,
Resposta
(a)
(b) Para ou
a única solução admissível é a trivial
.
(c) Para a solução é
(b) Para
(c) Para