Exercício 3. Encontre a solução particular da equação da onda descrita no Exercício 1, se a condição inicial da corda é:
Passo 1
O enunciado pede a solução particular da equação da onda
sujeita às condições iniciais
O conteúdo é séries de Fourier em senos para a PDE de onda. Vamos usar separação de variáveis e ortogonalidade dos senos.
Passo 2
Pela teoria da equação da onda com bordos nulos, a solução geral atende
Como
, temos
. E como
, sobra
onde
pelo ortogonalidade de
em
.
Passo 3
Como
para
, o coeficiente fica
Distribuindo a integral, escrevemos
Passo 4
Calculamos
e
com partes. Seja
.
-
-
E para temos
Logo
Passo 5
Substituindo em
e lembrando
, obtemos
Portanto a solução particular é