Exercício 4. Encontre a solução geral para a equação da onda no caso onde um dos extremos está solto (preso a uma argola). Neste caso a condição de contorno fica
u(0, t)=\left.0 \quad \frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=L}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação da onda
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
no intervalo 0\le x\le L, sujeita às condições de contorno mistas
u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=L}=0.
Vamos usar o método de separação de variáveis, que nos leva a quebrar a solução em u(x,t)=X(x)\,T(t).

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) na PDE e dividindo por X\,T obtemos
\frac{T''(t)}{c^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é a constante de separação. Isso gera dois ODEs:
X''(x)+\lambda\,X(x)=0, \qquad T''(t)+c^2\lambda\,T(t)=0.

Passo 3

Aplicamos as condições de contorno em X(x):
1. X(0)=0 implica que a solução espacial seja da forma X(x)=A\sin(kx) (a componente em \cos não satisfaz X(0)=0).
2. X'(L)=0 leva a
X'(x)=A\,k\cos(kx), \qquad X'(L)=A\,k\cos(kL)=0 \;\Longrightarrow\; \cos(kL)=0.
Logo
kL=\frac{(2n-1)\pi}{2},\quad n=1,2,3,\dots,
e
\lambda_n=k_n^2, \qquad k_n=\frac{(2n-1)\pi}{2L}.
As autofunções espaciais são
X_n(x)=\sin\bigl(k_n x\bigr).

Passo 4

Para cada \lambda_n, a parte temporal satisfaz
T_n''(t)+c^2k_n^2\,T_n(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t)=A_n\cos(c\,k_n t)+B_n\sin(c\,k_n t).

Passo 5

A solução geral da equação da onda é a soma de todas as modalidades:
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[A_n\cos\bigl(c\,k_n t\bigr)+B_n\sin\bigl(c\,k_n t\bigr)\Bigr] \sin\bigl(k_n x\bigr), \quad k_n=\frac{(2n-1)\pi}{2L}.

Resposta

u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[A_n \cos\!\left(\frac{(2n-1)\pi c}{2L} t\right) + B_n \sin\!\left(\frac{(2n-1)\pi c}{2L} t\right)\Bigr] \sin\!\left(\frac{(2n-1)\pi}{2L} x\right).

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