Exercício 1. De um exemplo de número que seja:
Racional, mas não inteiro.

Passo 1

O enunciado pede: dar um exemplo de número que seja racional, mas não inteiro.
Informações relevantes que temos do enunciado: não há outros dados numéricos — só é preciso apresentar um número que satisfaça simultaneamente as duas propriedades:
  • ser racional;
  • não ser inteiro.

Passo 2

Definição de número racional (explicação detalhada):
Um número é racional quando pode ser escrito na forma \dfrac{p}{q}, onde p e q são inteiros e q\neq0. Aqui:
  • p é o numerador (um inteiro qualquer);
  • q é o denominador (um inteiro diferente de zero).
    Isso significa que qualquer fração com numerador e denominador inteiros é um número racional. Exemplos típicos: \dfrac{3}{4}, \dfrac{-2}{5}, \dfrac{6}{1}.

Passo 3

Definição de número inteiro (explicação detalhada):
Números inteiros são os elementos do conjunto \mathbb{Z}, ou seja \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots. Em particular, um número racional da forma \dfrac{p}{q} é inteiro exatamente quando o denominador q divide o numerador p (por exemplo \dfrac{6}{3}=2 é inteiro).

Passo 4

Escolhendo um exemplo simples: \dfrac{1}{2}. Vou mostrar por que \dfrac{1}{2} é racional e por que não é inteiro.
Por que \dfrac{1}{2} é racional: ele está escrito na forma \dfrac{p}{q} com p=1\in\mathbb{Z} e q=2\in\mathbb{Z}, q\neq0. Logo, pela definição, \dfrac{1}{2} é racional.

Passo 5

Por que \dfrac{1}{2} não é inteiro (duas demonstrações simples):
Demonstração 1 — divisão exata: se \dfrac{1}{2} fosse um inteiro k\in\mathbb{Z}, então teria
k=\dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad 2k=1.
Mas o produto 2k é um inteiro par, e nenhum inteiro múltiplo de 2 é igual a 1. Isso é uma contradição. Portanto \dfrac{1}{2} não é inteiro.
Demonstração 2 — representação decimal: \dfrac{1}{2}=0{,}5, que claramente não é um número sem parte fracionária; inteiros têm representação decimal sem parte fracionária (ex.: 2=2{,}0). Logo não é inteiro.

Passo 6

Dica prática para prova (como construir ou reconhecer outros exemplos rapidamente):
  • Qualquer fração \dfrac{p}{q} em que q\neq0 e q\nmid p (isto é, q não divide p) é um racional não inteiro. Exemplos: \dfrac{3}{4}, \dfrac{-2}{3}, \dfrac{7}{2} (observe que \dfrac{6}{3}=2 é inteiro, então cuidado com frações que simplificam para inteiro).
  • Se precisa dar um exemplo rápido na prova, escolha \dfrac{1}{2} ou \dfrac{3}{4}: são reconhecíveis à vista e fáceis de justificar.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados