Exercício 1. De um exemplo de número que seja:
Racional, mas não inteiro.
Racional, mas não inteiro.
Passo 1
O enunciado pede: dar um exemplo de número que seja racional, mas não inteiro.
Informações relevantes que temos do enunciado: não há outros dados numéricos — só é preciso apresentar um número que satisfaça simultaneamente as duas propriedades:
Informações relevantes que temos do enunciado: não há outros dados numéricos — só é preciso apresentar um número que satisfaça simultaneamente as duas propriedades:
- ser racional;
- não ser inteiro.
Passo 2
Definição de número racional (explicação detalhada):
Um número é racional quando pode ser escrito na forma , onde
e
são inteiros e
. Aqui:
Um número é racional quando pode ser escrito na forma
-
é o numerador (um inteiro qualquer); -
é o denominador (um inteiro diferente de zero).
Isso significa que qualquer fração com numerador e denominador inteiros é um número racional. Exemplos típicos:, , .
Passo 3
Definição de número inteiro (explicação detalhada):
Números inteiros são os elementos do conjunto , ou seja
. Em particular, um número racional da forma
é inteiro exatamente quando o denominador
divide o numerador
(por exemplo
é inteiro).
Números inteiros são os elementos do conjunto
Passo 4
Escolhendo um exemplo simples:
. Vou mostrar por que
é racional e por que não é inteiro.
Por que
é racional: ele está escrito na forma
com
e
,
. Logo, pela definição,
é racional.
Passo 5
Por que
não é inteiro (duas demonstrações simples):
Demonstração 1 — divisão exata: se
fosse um inteiro
, então teria
Mas o produto
é um inteiro par, e nenhum inteiro múltiplo de
é igual a
. Isso é uma contradição. Portanto
não é inteiro.
Demonstração 2 — representação decimal:
, que claramente não é um número sem parte fracionária; inteiros têm representação decimal sem parte fracionária (ex.:
). Logo não é inteiro.
Passo 6
Dica prática para prova (como construir ou reconhecer outros exemplos rapidamente):
- Qualquer fração
em que e (isto é, não divide ) é um racional não inteiro. Exemplos: , , (observe que é inteiro, então cuidado com frações que simplificam para inteiro). - Se precisa dar um exemplo rápido na prova, escolha
ou : são reconhecíveis à vista e fáceis de justificar.