Exercicio 2 Considerando as matrizes: A=[ccc1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 0 & 5], B=[ccc2 & 0 & 1 3 & 1 & -2 -1 & 4 & 0], com base nas propriedades da álgebra matricial resolva:
a) Calcule A B e B A
b) A multiplicação de matrizes é comutativa?
c) Calcule (A B)^T e compare com B^T A^T

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 0 & 5 , B = 2 & 0 & 1 3 & 1 & -2 -1 & 4 & 0
e pede:
a) AB e BA;
b) verificar se a multiplicação é comutativa;
c) calcular (AB)^T e comparar com B^TA^T.
O conteúdo usado será a definição de produto de matrizes e de transposta.

Passo 2

Para achar AB, usamos
(AB)ij = sumk=1^3 Aik,Bkj
Calculando linha a linha:
AB = 1cdot2 + 2cdot3 + 3cdot(-1) & 1cdot0 + 2cdot1 + 3cdot4 & 1cdot1 + 2cdot(-2) + 3cdot0 0cdot2 + (-1)cdot3 + 4cdot(-1) & 0cdot0 + (-1)cdot1 + 4cdot4 & 0cdot1 + (-1)cdot(-2) + 4cdot0 2cdot2 + 0cdot3 + 5cdot(-1) & 2cdot0 + 0cdot1 + 5cdot4 & 2cdot1 + 0cdot(-2) + 5cdot0 = 5 & 14 & -3 -7 & 15 & 2 -1 & 20 & 2

Passo 3

Agora BA com o mesmo princípio:
BA = 2cdot1 + 0cdot0 + 1cdot2 & 2cdot2 + 0cdot(-1) + 1cdot0 & 2cdot3 + 0cdot4 + 1cdot5 3cdot1 + 1cdot0 + (-2)cdot2 & 3cdot2 + 1cdot(-1) + (-2)cdot0 & 3cdot3 + 1cdot4 + (-2)cdot5 -1cdot1 + 4cdot0 + 0cdot2 & -1cdot2 + 4cdot(-1) + 0cdot0 & -1cdot3 + 4cdot4 + 0cdot5 = 4 & 4 & 11 -1 & 5 & 3 -1 & -6 & 13

Passo 4

Como
AB = 5&14&-3-7&15&2-1&20&2 neq 4&4&11-1&5&3-1&-6&13 = BA,
a multiplicação não é comutativa.

Passo 5

Para (AB)^T, trocamos linhas por colunas em AB:
(AB)^T = 5 & -7 & -1 14 & 15 & 20 -3 & 2 & 2

Passo 6

Calculamos
B^T = 2&3&-10&1&41&-2&0, A^T = 1&0&22&-1&03&4&5,
e então
B^TA^T = 5 & -7 & -1 14 & 15 & 20 -3 & 2 & 2
Isso coincide com (AB)^T, confirmando a propriedade (AB)^T = B^TA^T.

Resposta

(a)
AB = 5 & 14 & -3-7 & 15 & 2-1 & 20 & 2, BA = 4 & 4 & 11-1 & 5 & 3-1 & -6 & 13
(b) Não, AB neq BA, então a multiplicação não é comutativa.
(c)
(AB)^T = 5 & -7 & -114 & 15 & 20-3 & 2 & 2, B^TA^T = 5 & -7 & -114 & 15 & 20-3 & 2 & 2,
portanto (AB)^T = B^TA^T.

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