Exercicio 3 Dada a matriz A=[lll2 & 1 & 3 1 & 2 & 1 3 & 1 & 2]
a) Calcule o determinate de A. A matriz A é invertível?
b) Se A for invertível, encontre A^-1 e calcule o determinante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre matrizes! A gente tem uma matriz A de tamanho 3x3 e precisa descobrir duas coisas:
a) O determinante de A e se ela é invertível.
b) Se for invertível, encontrar a inversa A^-1 e calcular o determinante dessa inversa.
Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 3

A matriz A é:
A = 2 & 1 & 3 1 & 2 & 1 3 & 1 & 2
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou usar a regra de Sarrus aqui.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 2 times 2 times 2 + 1 times 1 times 3 + 3 times 1 times 1 - 3 times 2 times 3 - 1 times 1 times 2 - 2 times 1 times 1
Vamos calcular cada termo:
  • 2 times 2 times 2 = 8
  • 1 times 1 times 3 = 3
  • 3 times 1 times 1 = 3
  • 3 times 2 times 3 = 18
  • 1 times 1 times 2 = 2
  • 2 times 1 times 1 = 2

Passo 5

Agora, somamos os termos positivos e subtraímos os negativos:
det(A) = (8 + 3 + 3) - (18 + 2 + 2) = 14 - 22 = -8

Passo 6

Como o determinante de A é -8 (que é diferente de zero), isso significa que a matriz A é invertível.

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Como A é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Uma forma de calcular a inversa de uma matriz 3x3 é usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A .

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar a adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de A :
Para a11 :
C11 = det 2 & 1 1 & 2 = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
Para a12 :
C12 = -det 1 & 1 3 & 2 = -[(1)(2) - (1)(3)] = -[2 - 3] = 1
Para a13 :
C13 = det 1 & 2 3 & 1 = (1)(1) - (2)(3) = 1 - 6 = -5
Continuando esse processo para todos os elementos, teremos a matriz dos cofatores.

Passo 9

Após calcular todos os cofatores, a matriz dos cofatores de A é:
Cof(A) = 3 & 1 & -5 1 & 5 & -2 -5 & -2 & 3
Agora, vamos fazer a transposta dessa matriz para obter a adjunta:
adj(A) = 3 & 1 & -5 1 & 5 & -2 -5 & -2 & 3 ^T = 3 & 1 & -5 1 & 5 & -2 -5 & -2 & 3
(Sendo uma matriz simétrica, a transposta é igual à original)

Passo 10

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-8 times 3 & 1 & -5 1 & 5 & -2 -5 & -2 & 3 = -38 & -18 & 58 -18 & -58 & 28 58 & 28 & -38

Passo 11

Simplificando as frações:
A^-1 = -38 & -18 & 58 -18 & -58 & 14 58 & 14 & -38

Passo 12

Por fim, vamos calcular o determinante da inversa A^-1 . Sabemos que:
det(A^-1) = 1det(A) = 1-8 = -18

Resposta

a) O determinante de A é -8. Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível.
b) A matriz inversa A^-1 é:
A^-1 = -38 & -18 & 58 -18 & -58 & 14 58 & 14 & -38
E o determinante de A^-1 é -18.

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