Exercicio 3 Dada a matriz
a) Calcule o determinate de A. A matriz A é invertível?
b) Se A for invertível, encontre A^-1 e calcule o determinante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre matrizes! A gente tem uma matriz A de tamanho 3x3 e precisa descobrir duas coisas:
a) O determinante de A e se ela é invertível.
b) Se for invertível, encontrar a inversa A^-1 e calcular o determinante dessa inversa.
Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 3
A matriz A é:
A = 2 & 1 & 3 1 & 2 & 1 3 & 1 & 2
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou usar a regra de Sarrus aqui.
Passo 4
Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 2 times 2 times 2 + 1 times 1 times 3 + 3 times 1 times 1 - 3 times 2 times 3 - 1 times 1 times 2 - 2 times 1 times 1
Vamos calcular cada termo:
2 times 2 times 2 = 8
1 times 1 times 3 = 3
3 times 1 times 1 = 3
3 times 2 times 3 = 18
1 times 1 times 2 = 2
2 times 1 times 1 = 2
Passo 5
Agora, somamos os termos positivos e subtraímos os negativos:
Como o determinante de A é -8 (que é diferente de zero), isso significa que a matriz A é invertível.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Como A é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Uma forma de calcular a inversa de uma matriz 3x3 é usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A .
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar a adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de A :