Exercício 3. Considerando n_{1}, n_{2}, n_{3} \in \mathbb{Z}_{>0}. Calcule:
\frac{n_{1}^{9}}{n_{1}^{8}}+\frac{n_{2}^{7}}{n_{2}^{5}}+\frac{n_{3}^{4}}{n_{3}}

Passo 1

O enunciado dá que n_{1}, n_{2}, n_{3}\in\mathbb{Z}_{>0} e pede para calcular a expressão
\frac{n_{1}^{9}}{n_{1}^{8}}+\frac{n_{2}^{7}}{n_{2}^{5}}+\frac{n_{3}^{4}}{n_{3}}.
Informações importantes fornecidas:
  • n_{1},n_{2},n_{3} são inteiros positivos (logo diferentes de zero), então as divisões são válidas.
  • O objetivo é simplificar a expressão usando propriedades de potências.

Passo 2

Regra de potências que vamos usar: para base a\neq0 e inteiros m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Explicação rápida e intuitiva: a^{m}=a^{n}\cdot a^{m-n} quando m\ge n, então ao dividir por a^{n} sobra a^{m-n}. No caso de m<n a regra também vale, dando expoente negativo, mas aqui todos os numeradores têm expoente maior ou igual ao denominador.

Passo 3

Aplicando a regra ao primeiro termo:
\frac{n_{1}^{9}}{n_{1}^{8}}=n_{1}^{9-8}=n_{1}^{1}=n_{1}.
Comentário: como n_{1} é inteiro positivo, escrever n_{1}^{1} como n_{1} é óbvio.

Passo 4

Aplicando ao segundo termo:
\frac{n_{2}^{7}}{n_{2}^{5}}=n_{2}^{7-5}=n_{2}^{2}.
Interpretação: isso equivale a n_{2}\cdot n_{2}.

Passo 5

Aplicando ao terceiro termo (note que dividir por n_{3} é dividir por n_{3}^{1}):
\frac{n_{3}^{4}}{n_{3}}=\frac{n_{3}^{4}}{n_{3}^{1}}=n_{3}^{4-1}=n_{3}^{3}.

Passo 6

Somando os resultados dos três termos obtemos a expressão simplificada:
n_{1}+n_{2}^{2}+n_{3}^{3}.
Pequena checagem numérica (exemplo): para n_{1}=2,\;n_{2}=3,\;n_{3}=4 temos 2+3^{2}+4^{3}=2+9+64=75, o que confirma a forma simplificada.

Resposta

n_{1}+n_{2}^{2}+n_{3}^{3}

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